Kalkulator Permutacji i Kombinacji przełącza się między P(n, r) dla wyborów, gdzie kolejność ma znaczenie, a C(n, r), dla wyborów, gdzie nie ma, używając tych samych n i r wejść. Obie formuły dzielą ten sam element budulcy, n!, więc narzędzie oblicza jedno rozwinięcie faktoryczne i wyprowadza oba wyniki z niego.
Rozróżnij permutacje i kombinacje
Jedynym pytaniem, które odróżnia te dwa miejsca, jest to, czy przełożenie wybranych pozycji daje inny rezultat. Przydzielenie pierwszego, drugiego i trzeciego miejsca finalistom 6 zwraca uwagę na kolejność, więc wymaga permutacji. Wybór finalistów 3 do awansu do rundy play-off, bez rankingu wśród nich, nie zależy od kolejności, więc wymaga kombinacji.
Oblicz liczbę permutacji
Permutacje używają P(n, r) = n! / (n − r)!. Dla n = 6, r = 3, czyli 6! / ⟦UM3⟧!, co jest (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (1) / (1) / (⟦ NUM10⟧ × 2 × 1), upraszczając do 6 × 5 × 4, równe 120.
Kalkulator Permutacji i Kombinacji wyświetla to anulowanie bezpośrednio, dzięki czemu współczynnik faktorialny nie musi być w pełni obliczany.
Oblicz liczbę kombinacji
Kombinacje używają C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). Dla tego samego n = 6, r = 3, czyli 6! / (3! × 3!), co jest 720 / (6 × 6), równe 20.
Kombinacje dzielą liczbę permutacji przez r! ponieważ każdą grupę r elementów można uporządkować w r! różne kolejności i kombinacje traktują wszystkie te porządki jako ten sam wynik.
Zobacz relację między tymi dwoma wzorami
P(n, r) zawsze równa się C(n, r) pomnożonemu przez r!, ponieważ kombinacja grupuje elementy i permutacja również je uporządkowuje. Dla n = 6, r = 3: C(6, 3) × 3! = 20 × 6 = 120, dokładnie dopasowanie P(6, 3).
Ta zależność pozwala Permutacji i Kalkulatorowi Kombinacji wyprowadzić dowolną wartość, gdy druga jest znana, bez przeprowadzania dwóch oddzielnych obliczeń faktorialnych.
Unikaj tego typowego błędu
Wybór błędnego wzoru dla zadania słownego jest najczęstszym błędem w tym temacie. Losowanie liczb 6 z 49, gdzie liczby są podawane jako zbiór bez rankingu, to kombinacja C(49, 6).
Przydzielanie 3 odrębnych nagród (pierwsza, druga, trzecia) 3 uczestników 10 to permutacja, P(10, 3), ponieważ liczy się, który uczestnik otrzyma jaką konkretną nagrodę. Odczytaj problem z językami takimi jak "w kolejności", "rankingowany" lub "przypisany do roli" jako sygnały dla permutacji, a języki takie jak "grupa", "podzbiór" lub "wybrane razem" jako sygnały dla kombinacji.
Oblicz obie wartości obok siebie
Wpisanie n = 8, r = 2 do Permutacji i Kalkulatora Kombinacji zwraca oba wyniki z bazy współdzielonej 8!. Permutacja P(8, 2) = 8 × 7 = 56 liczy uporządkowane pary, takie jak przypisanie kapitana i wicekapitana spośród graczy 8.
Kombinacja C(8, 2) = 56 / 2! = 28 liczy nieuporządkowane pary, takie jak wybór 2 graczy reprezentujących drużynę bez rozróżnienia między nimi. Permutacja to dokładnie 2! = 2 razy kombinację tutaj, odpowiadając ogólnej zależności dla dowolnych n i r.
Buduj intuicję z kurczącą się listą kontrolną
Wiarygodnym sposobem na decyzję między tymi dwoma wzorami jest wyobrażenie sobie przypisywania etykiet pojedynczo. Jeśli każdy wybrany element otrzymuje rozpoznawalną etykietę, tag lub rangę w momencie wyboru, liczba wymaga permutacji. Jeśli wybrane elementy są po prostu zebrane w grupie bez oznakowania bez rozróżnienia między nimi, liczba wymaga kombinacji.
Praca ręcznie z kilkoma małymi przykładami, takimi jak wybór liter 2 z {A, B, C} zarówno jako uporządkowaną parę, jak i nieuporządkowaną, buduje intuicję szybciej niż samo zapamiętywanie wzorów.
Często zadawane pytania
Jaka jest różnica między permutacją a kombinacją?
Permutacja liczy układy, w których kolejność ma znaczenie, natomiast kombinacja liczy wybory, gdzie kolejność nie ma znaczenia. Permutacje są zawsze r! razy większe niż kombinacje dla tych samych n i r.
Skąd wiesz, czy użyć permutacji, czy kombinacji?
Aby wiedzieć, czy użyć permutacji czy kombinacji, zapytaj, czy zamiana kolejności wybranych elementów powoduje inny efekt. Jeśli tak, użyj permutacji; jeśli elementy są traktowane jako grupa nieuporządkowana, użyj kombinacji.
Jaki jest wzór łączący permutacje i kombinacje?
Formuła łącząca je to P(n, r) = C(n, r) × r!, ponieważ permutacja uwzględnia także każdy układ r wybranych elementów, które kombinacja traktuje jako identyczne.
Na ile sposobów można wybrać zwycięzców 3 spośród uczestników 10, jeśli kolejność nie ma znaczenia?
Jeśli kolejność nie ma znaczenia, 3 zwycięzcy wybrani spośród uczestników 10 dają C(10, 3), co równa się 120, ponieważ 10! / (3! × 7!) upraszcza się do (10 × 9 × 8) / 6.
Na ile sposobów można przyznać różne nagrody 3 uczestnikom 10?
Przyznawanie 3 odrębnych nagród uczestnikom 10 używa się P(10, 3), które odpowiada 720, ponieważ przydzielanie pierwszego, drugiego i trzeciego miejsca jest uporządkowane: 10 × 9 × 8.
Czy permutacje i kombinacje mogą używać tego samego n i r?
Permutacje i kombinacje mogą używać tych samych wartości n i r, a Kalkulator Permutacji i Kombinacji oblicza oba na podstawie jednej pary danych wejściowych, pozwalając na porównanie obu wyników na jednym ekranie.
Czym są P(8, 2) i C(8, 2)?
P(8, 2) równa się 56, obliczane jako 8 × 7, podczas gdy C(8, 2) równa się 28, uzyskane przez podzielenie liczby permutacji przez 2!. Permutacja jest dokładnie dwukrotnie większa od kombinacji, ponieważ każdą nieuporządkowaną parę można ułożyć w 2 różnych porządków.
Czy istnieje szybki sposób, żeby zdecydować między permutacją a kombinacją?
Szybkim sposobem na decyzję jest wyobrazienie sobie przypisywania wyróżnialnej etykiety każdemu wybranemu elementowi w momencie jego wyboru: jeśli to oznaczenie ma znaczenie dla wyniku, użyj permutacji; jeśli elementy są zebrane tylko w nieoznaczoną grupę, użyj kombinacji.
Podsumowanie
Kalkulator permutacji i kombinacji oblicza P(n, r) = n! / (n − r)! dla uporządkowanych wyborów i C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) dla nieuporządkowanych, z tych samych n i r.
Oba wzory łączą się przez P(n, r) = C(n, r) × r!. Przeczytaj uważnie słowo problem, aby sprawdzić, czy kolejność ma znaczenie, zanim wybierzesz, która liczba odpowiada na pytanie.