Kalkulator Permutasi dan Gabungan bertukar antara P(n, r), untuk pemilihan di mana tertib penting, dan C(n, r), untuk pemilihan di mana ia tidak, menggunakan input n dan r yang sama. Kedua-dua formula berkongsi blok binaan sama, n!, jadi alat mengira satu pengembangan faktorial dan memperoleh kedua-dua hasil darinya.
Bezakan permutasi dan gabungan
Satu soalan yang memisahkan kedua-duanya ialah sama ada menyusun semula item dipilih menghasilkan hasil berbeza. Memberikan tempat pertama, kedua, dan ketiga antara 6 finalis mementingkan tertib, jadi ia memerlukan permutasi. Memilih 3 finalis untuk maju ke pusingan playoff, tanpa ranking antara mereka, tidak mementingkan tertib, jadi ia memerlukan gabungan.
Kira bilangan permutasi
Permutasi menggunakan P(n, r) = n! / (n − r)!. Untuk n = 6, r = 3, itu ialah 6! / 3!, iaitu (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1), dipermudahkan kepada 6 × 5 × 4, sama dengan 120.
Kalkulator Permutasi dan Gabungan mencetak pembatalan ini terus supaya nisbah faktorial tidak perlu dikira sepenuhnya.
Kira bilangan gabungan
Gabungan menggunakan C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). Untuk n = 6, r = 3 yang sama, itu ialah 6! / (3! × 3!), iaitu 720 / (6 × 6), sama dengan 20.
Gabungan membahagi bilangan permutasi dengan r! kerana setiap kumpulan r item boleh disusun dalam r! tertib berbeza, dan gabungan merawat semua tertib itu sebagai hasil sama.
Lihat hubungan antara dua formula
P(n, r) sentiasa sama dengan C(n, r) didarab dengan r!, kerana gabungan mengumpulkan item dan permutasi juga menyusunnya. Untuk n = 6, r = 3: C(6, 3) × 3! = 20 × 6 = 120, sepadan dengan P(6, 3) tepat.
Hubungan ini membenarkan Kalkulator Permutasi dan Gabungan memperoleh mana-mana nilai setelah yang lain diketahui, tanpa menjalankan dua pengiraan faktorial berasingan.
Elakkan kesilapan biasa ini
Memilih formula salah untuk masalah perkataan ialah ralat paling kerap dalam topik ini. Cabutan loteri 6 nombor dari 49, di mana nombor dilaporkan sebagai set tanpa ranking, ialah gabungan, C(49, 6).
Memberikan 3 hadiah berbeza (pertama, kedua, ketiga) kepada 3 daripada 10 peserta ialah permutasi, P(10, 3), kerana peserta mana mendapat hadiah khusus mana penting. Baca masalah untuk bahasa seperti "mengikut tertib," "diranking," atau "diberikan kepada peranan" sebagai isyarat untuk permutasi, dan bahasa seperti "kumpulan," "subset," atau "dipilih bersama" sebagai isyarat untuk gabungan.
Kira kedua-dua nilai berdampingan
Memasukkan n = 8, r = 2 ke dalam Kalkulator Permutasi dan Gabungan memulangkan kedua-dua hasil dari asas faktorial dikongsi 8!. Permutasi P(8, 2) = 8 × 7 = 56 mengira pasangan bertertib, seperti memberikan kapten dan naib kapten dari 8 pemain.
Gabungan C(8, 2) = 56 / 2! = 28 mengira pasangan tidak bertertib, seperti memilih 2 pemain untuk mewakili pasukan tanpa perbezaan antara mereka. Permutasi tepat 2! = 2 kali gabungan di sini, sepadan dengan hubungan umum untuk sebarang n dan r.
Bina intuisi dengan senarai semak mengecut
Cara boleh dipercayai untuk memutuskan antara dua formula ialah membayangkan memberikan label satu pada satu masa. Jika setiap item dipilih mendapat label, tag, atau kedudukan boleh dibezakan semasa dipilih, kiraan memerlukan permutasi. Jika item dipilih hanya dikumpulkan ke dalam kumpulan tidak dilabel tanpa perbezaan antara mereka, kiraan memerlukan gabungan.
Bekerja melalui beberapa contoh kecil dengan tangan, seperti memilih 2 huruf dari {A, B, C} kedua-duanya sebagai pasangan bertertib dan sebagai pasangan tidak bertertib, membina intuisi lebih cepat daripada menghafal formula sahaja.
Soalan lazim
Apakah bezanya antara permutasi dan gabungan?
Permutasi mengira susunan di mana tertib penting, manakala gabungan mengira pemilihan di mana tertib tidak penting. Permutasi sentiasa r! kali lebih besar daripada gabungan untuk n dan r yang sama.
Bagaimanakah anda tahu sama ada menggunakan permutasi atau gabungan?
Untuk tahu sama ada menggunakan permutasi atau gabungan, tanya sama ada menukar tertib item dipilih mencipta hasil berbeza. Jika ya, gunakan permutasi; jika item dirawat sebagai kumpulan tidak bertertib, gunakan gabungan.
Apakah formula yang menghubungkan permutasi dan gabungan?
Formula yang menghubungkan mereka ialah P(n, r) = C(n, r) × r!, kerana permutasi juga mengambil kira setiap tertib r item dipilih yang gabungan anggap sama.
Berapa banyak cara 3 pemenang boleh dipilih dari 10 peserta jika tertib tidak penting?
Jika tertib tidak penting, 3 pemenang dipilih dari 10 peserta memberi C(10, 3), yang sama dengan 120, kerana 10! / (3! × 7!) dipermudahkan kepada (10 × 9 × 8) / 6.
Berapa banyak cara 3 hadiah berbeza boleh diberikan kepada 10 peserta?
Memberikan 3 hadiah berbeza kepada 10 peserta menggunakan P(10, 3), yang sama dengan 720, kerana memberikan tempat pertama, kedua, dan ketiga ialah pemilihan bertertib: 10 × 9 × 8.
Bolehkah permutasi dan gabungan menggunakan n dan r yang sama?
Permutasi dan gabungan boleh menggunakan nilai n dan r yang sama, dan Kalkulator Permutasi dan Gabungan mengira kedua-duanya dari satu pasangan input, membenarkan perbandingan dua hasil berlaku pada satu skrin.
Apakah P(8, 2) dan C(8, 2)?
P(8, 2) sama dengan 56, dikira sebagai 8 × 7, manakala C(8, 2) sama dengan 28, dijumpai dengan membahagi bilangan permutasi dengan 2!. Permutasi tepat dua kali gabungan, kerana setiap pasangan tidak bertertib boleh disusun dalam 2 tertib berbeza.
Adakah ada cara pantas untuk memutuskan antara permutasi dan gabungan?
Cara pantas untuk memutuskan ialah membayangkan memberikan label boleh dibezakan kepada setiap item dipilih semasa dipilih: jika pelabelan itu penting kepada hasil, gunakan permutasi; jika item hanya dikumpulkan ke dalam kumpulan tidak dilabel, gunakan gabungan.
Ringkasan
Kalkulator Permutasi dan Gabungan mengira P(n, r) = n! / (n − r)! untuk pemilihan bertertib dan C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) untuk yang tidak bertertib, dari n dan r yang sama.
Kedua-dua formula berkaitan melalui P(n, r) = C(n, r) × r!. Baca masalah perkataan dengan teliti untuk sama ada tertib penting sebelum memilih kiraan mana yang menjawab soalan.