Der Permutations- und Kombinationsrechner wechselt zwischen P(n, r) für Auswahlen, bei denen die Ordnung zählt, und C(n, r) für Auswahlen, bei denen dies nicht der Fall ist, und verwendet dieselben n und r Eingaben. Beide Formeln teilen sich denselben Baustein, n!, daher berechnet das Werkzeug eine Fakultätsentwicklung und leitet beide Ergebnisse daraus ab.
Unterscheiden Sie Permutationen und Kombinationen
Die einzige Frage, die die beiden trennt, ist, ob das Umordnen der ausgewählten Elemente zu einem anderen Ergebnis führt. Die Vergabe von erster, zweiter und dritter Platz unter 6 Finalisten ist wichtig für die Reihenfolge, daher braucht es eine Permutation. Die Auswahl von 3 Finalisten, die in eine Playoff-Runde einziehen, ohne Rangfolge unter ihnen, ist die Reihenfolge egal, daher braucht es eine Kombination.
Berechnen Sie die Permutationszählung
Permutationen verwenden P(n, r) = n! / (n − r)!. Für n = 6, r = 3, das ist 6! / 3!, was (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (3 × 2 × 1) ist, vereinfacht zu 6 × 5 × 4, gleich 120.
Der Permutations- und Kombinationsrechner druckt diese Auslöschung direkt, sodass das Fakultätsverhältnis nicht vollständig berechnet werden muss.
Berechnen Sie die Kombinationszählung
Kombinationen verwenden C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). Für dasselbe n = 6 gilt r = 3, also 6! / (3! × 3!), was 720 / (6 × 6) entspricht, gleich 20.
Kombinationen teilen die Permutationszahl durch r! Weil jede Gruppe von R-Elementen in R angeordnet werden kann! Verschiedene Reihenfolgen und Kombinationen behandeln all diese Reihenfolgen als dasselbe Ergebnis.
Siehe die Beziehung zwischen den beiden Formeln
P(n, r) ist immer gleich C(n, r) multipliziert mit r!, da eine Kombination Elemente gruppiert und eine Permutation sie ebenfalls ordnet. Für n = 6, r = 3: C(6, 3) × 3! = 20 × 6 = 120, was genau P(6, 3) entspricht.
Diese Beziehung ermöglicht es Permutation und Kombinationsrechner, einen der beiden Werte abzuleiten, sobald der andere bekannt ist, ohne zwei separate Fakultätsberechnungen durchzuführen.
Diesen häufigen Fehler vermeiden
Die Wahl der falschen Formel für eine Textaufgabe ist der häufigste Fehler in diesem Thema. Eine Lotterieziehung mit 6 Zahlen aus 49, bei der die Zahlen als eine Menge ohne Rangfolge angegeben werden, ist eine Kombination C(49, 6).
Die Vergabe von 3 verschiedenen Preisen (erster, zweiter, dritter) an 3 von 10 Teilnehmer ist eine Permutation, P(10, 3), denn der Teilnehmer, der welchen spezifischen Preis bekommt, zählt. Lesen Sie das Problem für Sprache wie "in der Reihenfolge", "gerankt" oder "einer Rolle zugewiesen" als Signale für eine Permutation und Sprache wie "eine Gruppe von", "einer Teilmenge" oder "zusammen ausgewählt" als Signale für eine Kombination.
Berechne beide Werte nebeneinander
Eingabe von n = 8, r = 2 in Permutation und Kombinationsrechner liefert beide Ergebnisse aus der gemeinsamen Fakultätsbasis 8!. Die Permutation P(8, 2) = 8 × 7 = 56 zählt geordnete Paare, wie zum Beispiel die Zuweisung eines Kapitäns und eines Vizekapitäns aus 8 Spielern.
Die Kombination C(8, 2) = 56 / 2! = 28 zählt ungeordnete Paare, wie zum Beispiel die Auswahl von 2 Spielern, die das Team ohne Unterscheidung unterscheiden. Die Permutation ist genau 2! = 2-fach der Kombination hier, was der allgemeinen Beziehung für beliebige n und r entspricht.
Baue Intuition mit einer schrumpfenden Checkliste auf
Eine zuverlässige Möglichkeit, zwischen den beiden Formeln zu entscheiden, besteht darin, sich vorzustellen, dass man Labels einzeln vergibt. Wenn jedes ausgewählte Element beim Auswählen ein unterscheidbares Label, Tag oder Rang erhält, benötigt die Anzahl eine Permutation. Wenn die ausgewählten Gegenstände einfach in einer unbeschrifteten Gruppe ohne Unterscheidung zusammengeführt werden, benötigt die Zählung eine Kombination.
Wenn man einige kleine Beispiele von Hand durcharbeitet, wie zum Beispiel zwei Buchstaben aus {A, B, C} sowohl als geordnetes Paar als auch als ungeordnetes Paar, baut die Intuition schneller auf, als sich die Formeln allein zu merken.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?
Eine Permutation zählt Anordnungen, bei denen Ordnung wichtig ist, während eine Kombination Selektionen zählt, bei denen Ordnung keine Rolle spielt. Permutationen sind immer r! mal größer als Kombinationen für dasselbe n und r.
Woran erkennt man, ob man eine Permutation oder eine Kombination verwenden soll?
Um zu wissen, ob eine Permutation oder eine Kombination verwendet werden soll, fragen Sie, ob das Tauschen der Reihenfolge der gewählten Elemente ein anderes Ergebnis erzeugt. Wenn ja, verwenden Sie eine Permutation; Wenn die Elemente als ungeordnete Gruppe behandelt werden, verwenden Sie eine Kombination.
Welche Formel verbindet Permutationen und Kombinationen?
Die Formel, die sie verbindet, lautet P(n, r) = C(n, r) × r!, da eine Permutation auch jede Ordnung der r ausgewählten Elemente berücksichtigt, die eine Kombination als identisch behandelt.
Wie viele Möglichkeiten können 3 Gewinner aus 10 Teilnehmern ausgewählt werden, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt?
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, ergibt 3 Gewinner, die aus 10 Teilnehmern ausgewählt werden, C(10, 3), was 120 ergibt, da 10! / (3! × 7!) vereinfacht sich zu (10 × 9 × 8) / 6.
Wie viele Möglichkeiten können 3 verschiedene Preise an 10 Teilnehmer vergeben werden?
Die Vergabe von 3 verschiedenen Preisen an 10 Teilnehmer verwendet P(10, 3), was 720 ergibt, da die Vergabe von erster, zweiter und dritter Platz eine geordnete Auswahl ist: 10 × 9 × 8.
Können Permutationen und Kombinationen dasselbe n und r verwenden?
Permutationen und Kombinationen können dieselben n- und r-Werte verwenden, und Permutation und Kombinationsrechner berechnen beide aus einem einzigen Eingabepaar, sodass ein Vergleich der beiden Ergebnisse auf einem Bildschirm erfolgen kann.
Was ist P(8, 2) und C(8, 2)?
P(8, 2) ergibt 56, berechnet als 8 × 7, während C(8, 2) 28 ergibt, ermittelt durch Division der Permutationszahl durch 2!. Die Permutation ist genau doppelt so hoch wie die Kombination, da jedes ungeordnete Paar in zwei verschiedene Reihenfolgen angeordnet werden kann.
Gibt es eine schnelle Möglichkeit, zwischen einer Permutation und einer Kombination zu entscheiden?
Eine schnelle Möglichkeit, sich vorzustellen, jedem ausgewählten Element ein unterscheidbares Label zuzuweisen: Wenn diese Bezeichnung für das Ergebnis relevant ist, verwenden Sie eine Permutation; Wenn die Gegenstände nur in einer unbeschrifteten Gruppe gesammelt werden, verwenden Sie eine Kombination.
Zusammenfassung
Der Permutations- und Kombinationsrechner berechnet P(n, r) = n! / (n − r)! für geordnete Selektionen und C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) für ungeordnete, von denselben n und r.
Die beiden Formeln stehen durch P(n, r) = C(n, r) × r! in Beziehung. Lies das Wort Problem sorgfältig durch, um zu prüfen, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt, bevor du entscheidest, welche Zählung die Frage beantwortet.