Il calcolatore del triangolo equilatero calcola l'area, l'altezza, il perimetro e i raggi del cerchio inscritto e circoscritto di un triangolo equilatero da un singolo lato. Poiché tutti e tre i lati e tutti e tre gli angoli di un triangolo equilatero sono uguali, una misurazione è sufficiente per determinare ogni altra proprietà della forma.
Un triangolo equilatero è il più simmetrico di tutti i triangoli: ogni lato misura la stessa lunghezza e ogni angolo interno misura esattamente 60 gradi. Questa simmetria è ciò che riduce le formule generali del triangolo a semplici espressioni a una variabile.
Calcola l'area di un triangolo equilatero
La formula dell'area di un triangolo equilatero deriva dalla formula generale dell'area del triangolo, semplificata utilizzando il fatto che tutti i lati e gli angoli sono uguali.
A = (√3 / 4) × side²Esempio realizzato: un triangolo equilatero con il lato di 8 unità.
1. Square the side length. 8² = 64.
2. Multiply by √3 / 4. 64 × (1,7321 / 4) = 64 × 0,4330 ≈ 27,71 unità quadrate.
Calcola l'altezza di un triangolo equilatero
L'altezza (o altitudine) scende da qualsiasi vertice perpendicolare al lato opposto, dividendo il triangolo equilatero in due triangoli rettangoli congruenti 30-60-90.
h = (√3 / 2) × sideEsempio realizzato: lo stesso triangolo con un lato di 8 unità.
1. Multiply the side by √3 / 2. 8 × (1,7321 / 2) = 8 × 0,8660 ≈ 6,93 unità.
Poiché ogni lato è uguale, l'altezza caduta da qualsiasi vertice è identica, il che non è vero per un triangolo scaleno o anche isoscele generale.
Calcola il perimetro
Il perimetro è semplicemente tre volte la lunghezza del singolo lato, la più diretta delle formule equilatere.
P = 3 × sideEsempio realizzato: lo stesso triangolo con un lato di 8 unità.
1. Multiply the side by 3. 3 × 8 = 24 unità.
Trovare i raggi del cerchio inscritto e circoscritto
Un triangolo equilatero ha un rapporto particolarmente pulito con il suo cerchio inscritto (interno, tangente a tutti e tre i lati) e il cerchio circoscritto (esterno, passante per tutti e tre i vertici).
r (inscribed) = side / (2√3)
R (circumscribed) = side / √3Esempio realizzato: lo stesso triangolo con un lato di 8 unità.
Raggio inscritto: 8 / (2 × 1,7321) ≈ 8 / 3,4642 ≈ 2,31 unità.
Raggio circoscritto: 8 / 1,7321 ≈ 4,62 unità.
Si noti che il raggio circoscritto è esattamente il doppio del raggio inscritto per qualsiasi triangolo equilatero, una relazione che generalmente non è valida per altre forme triangolari.
Comprendi perché ogni angolo è di 60 gradi
Poiché tutti e tre i lati di un triangolo equilatero sono uguali, anche tutti e tre gli angoli opposti a tali lati devono essere uguali, una conseguenza diretta del teorema del triangolo isoscele applicato a tutte e tre le coppie di lati contemporaneamente. Poiché i tre angoli sono uguali e la somma deve essere 180 gradi, ognuno è esattamente 180/3 = 60 gradi.
Confronta le formule del triangolo equilatero e generale
| Property | General triangle | Equilateral triangle |
|---|---|---|
| Calcolatrice de área | ½ × base × altezza, o formula di Erone | (√3/4) × lato² |
| Perimeter | a + b + c | 3 × lato |
| Angles | vary, sum to 180° | all 60° |
Le formule equilatere sono casi speciali delle formule generali del triangolo; la simmetria elimina semplicemente la necessità di input laterali e angolari separati.
Lavora attraverso un secondo esempio completo
Un triangolo equilatero con un lato di 12 unità mostra tutte le formule insieme. 1. Area. (√3/4) × 12² = 0,4330 × 144 ≈ 62,35 unità quadrate. 2. Altezza. (√3/2) × 12 = 0,8660 × 12 ≈ 10,39 unità.
3. Perimeter. 3 × 12 = 36 unità.
4. Inscribed radius. 12 / (2 × 1,7321) ≈ 3,46 unità.
5. Circumscribed radius. 12 / 1,7321 ≈ 6,93 unità.
Come nell'esempio precedente di 8 unità, anche qui il raggio circoscritto è esattamente il doppio del raggio inscritto, confermando che lo stesso rapporto fisso vale indipendentemente dalla lunghezza del lato scelta.
Verificare l'area utilizzando la formula di Heron come controllo incrociato
Poiché un triangolo equilatero è anche un input valido per la formula generale di Erone, inserendo tre lati uguali si conferma che la formula semplificata dà la stessa risposta.
Per un lato di 8, il semiperimetro è (8+8+8)/2 = 12, e la formula di Erone dà √(12 × 4 × 4 × 4) = √768 ≈ 27,71 unità quadrate, corrispondenti al risultato (√3/4) × lato² trovato in precedenza in questa pagina.
Questo controllo incrociato è un modo utile per confermare la formula equilatera semplificata ogni volta che la formula generale è già familiare.
Domande frequenti
Come si trova l'area di un triangolo equilatero?
Usa A = (√3/4) × lato². Per un lato di 8 unità la superficie è di circa 27,71 unità quadrate.
Come si trova l'altezza di un triangolo equilatero?
Utilizzare h = (√3/2) × lato. Per un lato di 8 unità l'altezza è di circa 6,93 unità.
Perché tutti gli angoli di un triangolo equilatero misurano 60 gradi?
Poiché tutti e tre i lati sono uguali, anche tutti e tre gli angoli opposti devono essere uguali (per il teorema del triangolo isoscele applicato a ogni coppia). Poiché la somma dei tre angoli uguali dà 180°, ciascuno è 60°.
Qual è la relazione tra i raggi del cerchio inscritto e circoscritto?
Per un triangolo equilatero, il raggio circoscritto è sempre esattamente il doppio del raggio inscritto, una relazione unica per l'elevata simmetria di questo triangolo.
Un triangolo equilatero è anche isoscele?
SÌ. Ogni triangolo equilatero soddisfa la condizione del triangolo isoscele (almeno due lati uguali), poiché ha tre lati uguali, rendendolo un caso speciale di isoscele piuttosto che una categoria separata.
Come si ricava la formula dell'altezza?
Lasciando cadere una perpendicolare da un vertice al punto medio del lato opposto si creano due triangoli rettangoli 30-60-90. Applicando il teorema di Pitagora a una di queste metà si ottiene h = (√3/2) × lato.
È possibile indicare due misure diverse invece del solo lato?
Poiché una misurazione determina completamente un triangolo equilatero, inserendo una seconda misurazione indipendente, come l'area, si lavora all'indietro per confermare o ricalcolare invece la lunghezza del lato.
Riepilogo
L'area, l'altezza, il perimetro e i raggi del cerchio di un triangolo equilatero derivano tutti dalla lunghezza del suo unico lato, grazie ai suoi tre lati uguali e ai tre angoli di 60 gradi. Un triangolo con il lato di 8 unità ha un'area di circa 27,71 unità quadrate, un'altezza di circa 6,93 unità e un perimetro di 24 unità.
Il raggio del cerchio circoscritto è sempre esattamente il doppio del raggio del cerchio inscritto per questa forma.
Calcolatori correlati
Calcolatore del triangolo · Calcolatore del triangolo isoscele · Calcolatore del triangolo rettangolo