A Calculadora de Triângulo Equilátero encontra a área, altura, perímetro e raios de círculo inscritos e circunscritos de um triângulo equilátero a partir de um único comprimento de lado. Como todos os três lados e todos os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais, uma medida é suficiente para determinar todas as outras propriedades da forma.
Um triângulo equilátero é o mais simétrico de todos os triângulos: cada lado mede o mesmo comprimento e cada ângulo interno mede exatamente 60 graus. Essa simetria é o que reduz as fórmulas gerais do triângulo a expressões simples de uma variável.
Calcular a área de um triângulo equilátero
A fórmula da área de um triângulo equilátero vem da fórmula geral da área do triângulo, simplificada pelo fato de que todos os lados e ângulos são iguais.
A = (√3 / 4) × side²Exemplo resolvido: um triângulo equilátero com lado de 8 unidades.
1. Square the side length. 8² = 64.
2. Multiply by √3 / 4. 64 × (1,7321/4) = 64 × 0,4330 ≈ 27,71 unidades quadradas.
Calcule a altura de um triângulo equilátero
A altura (ou altitude) cai de qualquer vértice perpendicular ao lado oposto, dividindo o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos 30-60-90 congruentes.
h = (√3 / 2) × sideExemplo resolvido: o mesmo triângulo com lado de 8 unidades.
1. Multiply the side by √3 / 2. 8 × (1,7321/2) = 8 × 0,8660 ≈ 6,93 unidades.
Como todos os lados são iguais, a altura largada de qualquer vértice é idêntica, o que não é verdade para um triângulo escaleno geral ou mesmo para um triângulo isósceles.
Calcule o perímetro
O perímetro é simplesmente três vezes o comprimento de um lado, a mais direta das fórmulas equiláteras.
P = 3 × sideExemplo resolvido: o mesmo triângulo com lado de 8 unidades.
1. Multiply the side by 3. 3 × 8 = 24 unidades.
Encontre os raios do círculo inscrito e circunscrito
Um triângulo equilátero tem uma relação particularmente clara com seu círculo inscrito (dentro, tangente aos três lados) e círculo circunscrito (fora, passando por todos os três vértices).
r (inscribed) = side / (2√3)
R (circumscribed) = side / √3Exemplo resolvido: o mesmo triângulo com lado de 8 unidades.
Raio inscrito: 8 / (2 × 1,7321) ≈ 8 / 3,4642 ≈ 2,31 unidades.
Raio circunscrito: 8 / 1,7321 ≈ 4,62 unidades.
Observe que o raio circunscrito é exatamente duas vezes o raio inscrito para qualquer triângulo equilátero, uma relação que geralmente não se aplica a outras formas de triângulo.
Entenda por que todo ângulo tem 60 graus
Como todos os três lados de um triângulo equilátero são iguais, todos os três ângulos opostos a esses lados também devem ser iguais, uma consequência direta do teorema do triângulo isósceles aplicado a todos os três pares de lados de uma só vez. Como os três ângulos são iguais e devem somar 180 graus, cada um é exatamente 180/3 = 60 graus.
Compare fórmulas de triângulo equilátero e geral
| Property | General triangle | Equilateral triangle |
|---|---|---|
| Calculadora de área | ½ × base × altura, ou fórmula de Heron | (√3/4) × lado² |
| Perimeter | a + b + c | 3 × lado |
| Angles | vary, sum to 180° | all 60° |
As fórmulas equiláteras são casos especiais das fórmulas gerais do triângulo; a simetria simplesmente elimina a necessidade de entradas laterais e angulares separadas.
Trabalhe com um segundo exemplo completo
Um triângulo equilátero com um lado de 12 unidades mostra todas as fórmulas juntas. 1. Área. (√3/4) × 12² = 0,4330 × 144 ≈ 62,35 unidades quadradas. 2. Altura. (√3/2) × 12 = 0,8660 × 12 ≈ 10,39 unidades.
3. Perimeter. 3 × 12 = 36 unidades.
4. Inscribed radius. 12 / (2 × 1,7321) ≈ 3,46 unidades.
5. Circumscribed radius. 12 / 1.7321 ≈ 6,93 unidades.
Tal como acontece com o exemplo de 8 unidades anterior, o raio circunscrito aqui é novamente exatamente o dobro do raio inscrito, confirmando que a mesma proporção fixa se mantém independentemente do comprimento do lado escolhido.
Verifique a área usando a fórmula de Heron como verificação cruzada
Como um triângulo equilátero também é uma entrada válida para a fórmula geral de Heron, inserir três lados iguais confirma que a fórmula simplificada dá a mesma resposta.
Para um lado de 8, o semiperímetro é (8+8+8)/2 = 12, e a fórmula de Heron dá √(12 × 4 × 4 × 4) = √768 ≈ 27,71 unidades quadradas, correspondendo ao resultado (√3/4) × lado² encontrado anteriormente nesta página.
Esta verificação cruzada é uma forma útil de confirmar a fórmula equilátera simplificada sempre que a fórmula geral já for familiar.
Perguntas frequentes
Como você encontra a área de um triângulo equilátero?
Use A = (√3/4) × lado². Para um lado de 8 unidades, a área é de cerca de 27,71 unidades quadradas.
Como você encontra a altura de um triângulo equilátero?
Use h = (√3/2) × lado. Para um lado de 8 unidades, a altura é de cerca de 6,93 unidades.
Por que todos os ângulos de um triângulo equilátero têm 60 graus?
Como todos os três lados são iguais, todos os três ângulos opostos também devem ser iguais (pelo teorema do triângulo isósceles aplicado a cada par). Como a soma dos três ângulos iguais é 180°, cada um deles equivale a 60°.
Qual é a relação entre os raios do círculo inscrito e circunscrito?
Para um triângulo equilátero, o raio circunscrito é sempre exatamente o dobro do raio inscrito, uma relação única para a alta simetria deste triângulo.
Um triângulo equilátero também é isósceles?
Sim. Todo triângulo equilátero satisfaz a condição do triângulo isósceles (pelo menos dois lados iguais), uma vez que possui três lados iguais, tornando-o um caso especial de isósceles em vez de uma categoria separada.
Como a fórmula da altura é derivada?
Soltar uma perpendicular de um vértice ao ponto médio do lado oposto cria dois triângulos retângulos 30-60-90. Aplicar o teorema de Pitágoras a uma dessas metades dá h = (√3/2) × lado.
Podem ser fornecidas duas medidas diferentes em vez de apenas o lado?
Como uma medida determina totalmente um triângulo equilátero, inserir uma segunda medida independente, como a área, funciona de trás para frente para confirmar ou recalcular o comprimento do lado.
Resumo
A área, a altura, o perímetro e os raios do círculo de um triângulo equilátero seguem todos o comprimento de seu único lado, graças aos seus três lados iguais e três ângulos de 60 graus. Um triângulo com lado de 8 unidades tem uma área de cerca de 27,71 unidades quadradas, uma altura de cerca de 6,93 unidades e um perímetro de 24 unidades.
O raio do círculo circunscrito é sempre exatamente duas vezes o raio do círculo inscrito para esta forma.