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正三角形計算機

1辺の長さから正三角形の面積、高さ、周囲長を求めます。施工例と60度の角度の関係を説明しました。

01 solve

結果

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    図

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      —

      正三角形計算機は、一辺の長さから正三角形の面積、高さ、周囲長、内接円・外接円の半径を求めます。正三角形の 3 つの辺と 3 つの角度はすべて等しいため、1 回の測定で形状の他のすべてのプロパティを決定するのに十分です。

      正三角形はすべての三角形の中で最も対称的です。すべての辺の長さが同じで、すべての内角が正確に 60 度になります。この対称性により、一般的な三角形の公式が単純な 1 変数の式に分解されます。

      正三角形の面積を計算する

      Concept diagram: 入力 leads to area of an equilateral triangle leads to 結果入力area of an equilateraltriangle結果
      正三角形の面積を計算する.

      正三角形の面積公式は、すべての辺と角度が等しいという事実を使用して簡略化された、一般的な三角形の面積公式から来ています。

      A = (√3 / 4) × side²

      作業例: 辺が 8 単位の正三角形。

      1. Square the side length. 8² = 64.

      2. Multiply by √3 / 4. 64 × (1.7321 / 4) = 64 × 0.4330 ≈ 27.71 平方単位。

      正三角形の高さを計算します

      Concept diagram: 入力 leads to height of an equilateral triangle leads to 結果入力height of anequilateral triangle結果
      正三角形の高さを計算します.

      反対側に垂直な頂点から高さ (または高度) が低下し、正三角形が 2 つの合同な 30-60-90 の直角三角形に分割されます。

      h = (√3 / 2) × side

      実行例: 辺が 8 単位の同じ三角形。

      1. Multiply the side by √3 / 2. 8 × (1.7321 / 2) = 8 × 0.8660 ≈ 6.93 単位。

      すべての辺が等しいため、どの頂点からの高さも同じになりますが、これは一般的な不等辺三角形や二等辺三角形には当てはまりません。

      外周を計算する

      Concept diagram: 入力 leads to perimeter leads to 結果入力perimeter結果
      外周を計算する.

      外周は単純に単辺の長さの 3 倍であり、正三角形の公式の中で最も直接的なものです。

      P = 3 × side

      実行例: 辺が 8 単位の同じ三角形。

      1. Multiply the side by 3. 3 × 8 = 24 ユニット。

      内接円と外接円の半径を求めます

      Concept diagram: 入力 leads to inscribed and circumscribed circle… leads to 結果入力inscribed andcircumscribed circle…結果
      内接円と外接円の半径を求めます.

      正三角形は、内接円 (内側、3 つの辺すべてに接する) および外接円 (外側、3 つの頂点すべてを通る) と特に明確な関係を持っています。

      r (inscribed) = side / (2√3)
R (circumscribed) = side / √3

      実行例: 辺が 8 単位の同じ三角形。

      内接半径: 8 / (2 × 1.7321) ≈ 8 / 3.4642 ≈ 2.31 単位。

      外接半径: 8 / 1.7321 ≈ 4.62 単位。

      正三角形の外接半径は内接半径のちょうど 2 倍であることに注意してください。この関係は他の三角形の形状には一般に当てはまりません。

      すべての角度が 60 度である理由を理解する

      Concept diagram: 入力 leads to why every angle is 60 degrees leads to 結果入力why every angle is 60degrees結果
      すべての角度が 60 度である理由を理解する.

      正三角形の 3 つの辺はすべて等しいため、それらの辺に対向する 3 つの角度もすべて等しい必要があります。これは、2 等辺三角形の定理が 3 つの辺のペアすべてに一度に適用されることの直接の結果です。 3 つの角度は等しく、合計は 180 度になる必要があるため、それぞれは正確に 180 / 3 = 60 度になります。

      正三角形の公式と一般的な三角形の公式を比較する

      Formula result = f(inputs), with variables: in is inputs, f is formula, out is resultresult = f(inputs)ininputsfformulaoutresult
      正三角形の公式と一般的な三角形の公式を比較する.
      PropertyGeneral triangleEquilateral triangle
      área計算機1/2 × 底辺 × 高さ、またはヘロンの公式(√3/4) × 辺²
      Perimetera + b + c3×側面
      Anglesvary, sum to 180°all 60°

      正三角形の公式は、一般的な三角形の公式の特殊なケースです。対称性により、側面と角度を個別に入力する必要がなくなるだけです。

      2 番目の完全な例を見てみる

      Process with 3 steps: Enter Work through a second full…; Read the main result; Check the breakdown1Enter Work through asecond full…2Read the main result3Check the breakdown
      2 番目の完全な例を見てみる.

      一辺が 12 単位の正三角形は、すべての式をまとめて示します。 1.面積。 (√3/4) × 12² = 0.4330 × 144 ≈ 62.35 平方単位。 2.高さ. (√3/2) × 12 = 0.8660 × 12 ≈ 10.39 単位。

      3. Perimeter. 3 × 12 = 36 ユニット。

      4. Inscribed radius. 12 / (2 × 1.7321) ≈ 3.46 単位。

      5. Circumscribed radius. 12 / 1.7321 ≈ 6.93 単位。

      前述の 8 ユニットの例と同様に、ここでも外接半径は内接半径のちょうど 2 倍であり、選択した辺の長さに関係なく同じ固定比率が維持されることが確認されます。

      ヘロンの公式をクロスチェックとして使用してエリアを検証する

      Formula area = base × height, with variables: b is base, h is height, A is areaarea = base × heightbbasehheightAarea
      ヘロンの公式をクロスチェックとして使用してエリアを検証する.

      正三角形も一般的なヘロンの公式への有効な入力であるため、3 つの等しい辺を代入すると、簡略化された公式が同じ答えを与えることが確認されます。

      辺が 8 の場合、半周長は (8+8+8)/2 = 12 で、ヘロンの公式は √(12 × 4 × 4 × 4) = √768 ≈ 27.71 平方単位を与え、このページで前に示した (√3/4) × 辺 2 の結果と一致します。

      このクロスチェックは、一般式がすでによく知られている場合に、簡略化された等辺式を確認するのに便利な方法です。

      よくある質問

      正三角形の面積はどうやって求めますか?

      A = (√3/4) × 辺 2 を使用します。 1 辺が 8 ユニットの場合、面積は約 27.71 平方ユニットです。

      正三角形の高さはどうやって求めますか?

      h = (√3/2) × 辺を使用します。 1 辺が 8 ユニットの場合、高さは約 6.93 ユニットです。

      なぜ正三角形の角はすべて60度なのでしょうか？

      3 つの辺はすべて等しいため、(すべてのペアに適用される二等辺三角形の定理により) 3 つの対角もすべて等しくなければなりません。 3 つの等しい角度の合計は 180° なので、それぞれは 60° になります。

      内接円半径と外接円半径の間にはどのような関係がありますか?

      正三角形の場合、外接半径は常に内接半径のちょうど 2 倍であり、この関係はこの三角形の高い対称性に特有です。

      正三角形も二等辺ですか？

      はい。すべての正三角形は、3 つの等しい辺があるため、二等辺三角形の条件 (少なくとも 2 つの等しい辺) を満たしており、別個のカテゴリではなく二等辺三角形の特殊なケースになります。

      身長の計算式はどのように導かれるのでしょうか？

      1 つの頂点から反対側の中点まで垂線を引くと、30-60-90 の直角三角形が 2 つ作成されます。これらの半分のいずれかにピタゴラスの定理を適用すると、h = (√3/2) × Side が得られます。

      側面だけでなく、2 つの異なる測定値を指定できますか?

      1 つの測定値で正三角形が完全に決定されるため、面積などの 2 番目の独立した測定値を入力すると、逆方向に動作して辺の長さが確認または再計算されます。

      まとめ

      正三角形の面積、高さ、周囲長、および円の半径はすべて、その 3 つの等しい辺と 3 つの 60 度の角度のおかげで、その 1 つの辺の長さによって決まります。辺が 8 単位の三角形の面積は約 27.71 平方単位、高さは約 6.93 単位、周囲は 24 単位です。

      この形状では、外接円の半径は常に内接円の半径のちょうど 2 倍になります。

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