Der Rechner für gleichseitige Dreiecke ermittelt die Fläche, Höhe, den Umfang sowie die ein- und umschriebenen Kreisradien eines gleichseitigen Dreiecks anhand einer einzelnen Seitenlänge. Da alle drei Seiten und alle drei Winkel eines gleichseitigen Dreiecks gleich sind, reicht eine Messung aus, um alle anderen Eigenschaften der Form zu bestimmen.
Ein gleichseitiges Dreieck ist das symmetrischste aller Dreiecke: Jede Seite ist gleich lang und jeder Innenwinkel beträgt genau 60 Grad. Diese Symmetrie ist es, die die allgemeinen Dreiecksformeln auf einfache Ausdrücke mit einer Variablen reduziert.
Berechnen Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks
Die Flächenformel für ein gleichseitiges Dreieck stammt aus der allgemeinen Dreiecksflächenformel, vereinfacht durch die Tatsache, dass alle Seiten und Winkel gleich sind.
A = (√3 / 4) × side²Arbeitsbeispiel: ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 Einheiten.
1. Square the side length. 8² = 64.
2. Multiply by √3 / 4. 64 × (1,7321 / 4) = 64 × 0,4330 ≈ 27,71 Quadrateinheiten.
Berechnen Sie die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Die Höhe (oder Höhe) nimmt von jedem Scheitelpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite ab und teilt das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke mit einer Länge von 30-60-90.
h = (√3 / 2) × sideArbeitsbeispiel: das gleiche Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 Einheiten.
1. Multiply the side by √3 / 2. 8 × (1,7321 / 2) = 8 × 0,8660 ≈ 6,93 Einheiten.
Da jede Seite gleich ist, ist die Höhe, die von jedem Scheitelpunkt aus abfällt, identisch, was für ein allgemeines ungleichseitiges oder sogar gleichschenkliges Dreieck nicht zutrifft.
Berechnen Sie den Umfang
Der Umfang ist einfach das Dreifache der Länge einer Seite, die direkteste der gleichseitigen Formeln.
P = 3 × sideArbeitsbeispiel: das gleiche Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 Einheiten.
1. Multiply the side by 3. 3 × 8 = 24 Einheiten.
Finden Sie die eingeschriebenen und umschriebenen Kreisradien
Ein gleichseitiges Dreieck hat eine besonders klare Beziehung zu seinem eingeschriebenen Kreis (innen, tangential zu allen drei Seiten) und seinem umschriebenen Kreis (außen, durch alle drei Eckpunkte verlaufend).
r (inscribed) = side / (2√3)
R (circumscribed) = side / √3Arbeitsbeispiel: das gleiche Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 Einheiten.
Eingeschriebener Radius: 8 / (2 × 1,7321) ≈ 8 / 3,4642 ≈ 2,31 Einheiten.
Umschriebener Radius: 8 / 1,7321 ≈ 4,62 Einheiten.
Beachten Sie, dass der umschriebene Radius für jedes gleichseitige Dreieck genau das Doppelte des eingeschriebenen Radius beträgt, eine Beziehung, die für andere Dreiecksformen im Allgemeinen nicht gilt.
Verstehen Sie, warum jeder Winkel 60 Grad beträgt
Da alle drei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks gleich sind, müssen auch alle drei diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich sein, eine direkte Folge des Satzes des gleichschenkligen Dreiecks, der auf alle drei Seitenpaare gleichzeitig angewendet wird. Da die drei Winkel gleich sind und sich zu 180 Grad summieren müssen, beträgt jeder Winkel genau 180 / 3 = 60 Grad.
Vergleichen Sie die Formeln für gleichseitige und allgemeine Dreiecke
| Property | General triangle | Equilateral triangle |
|---|---|---|
| área Rechner | ½ × Basis × Höhe oder Herons Formel | (√3/4) × Seite² |
| Perimeter | a + b + c | 3 × Seite |
| Angles | vary, sum to 180° | all 60° |
Die gleichseitigen Formeln sind Sonderfälle der allgemeinen Dreiecksformeln; Durch die Symmetrie entfällt einfach die Notwendigkeit separater Seiten- und Winkeleingaben.
Arbeiten Sie ein zweites vollständiges Beispiel durch
Ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 12 Einheiten zeigt alle Formeln zusammen. 1. Fläche. (√3/4) × 12² = 0,4330 × 144 ≈ 62,35 Quadrateinheiten. 2. Höhe. (√3/2) × 12 = 0,8660 × 12 ≈ 10,39 Einheiten.
3. Perimeter. 3 × 12 = 36 Einheiten.
4. Inscribed radius. 12 / (2 × 1,7321) ≈ 3,46 Einheiten.
5. Circumscribed radius. 12 / 1,7321 ≈ 6,93 Einheiten.
Wie beim vorherigen Beispiel mit 8 Einheiten beträgt der umschriebene Radius auch hier genau das Doppelte des eingeschriebenen Radius, was bestätigt, dass unabhängig von der gewählten Seitenlänge das gleiche feste Verhältnis gilt.
Überprüfen Sie den Bereich mit der Heron-Formel als Gegenprobe
Da ein gleichseitiges Dreieck auch eine gültige Eingabe für die allgemeine Heron-Formel ist, bestätigt das Einsetzen von drei gleichen Seiten, dass die vereinfachte Formel die gleiche Antwort liefert.
Für eine Seite von 8 beträgt der Halbumfang (8+8+8)/2 = 12, und Herons Formel ergibt √(12 × 4 × 4 × 4) = √768 ≈ 27,71 Quadrateinheiten, was dem Ergebnis (√3/4) × Seite² entspricht, das weiter oben auf dieser Seite gefunden wurde.
Diese Gegenprüfung ist eine nützliche Möglichkeit, die vereinfachte gleichseitige Formel zu bestätigen, wenn die allgemeine Formel bereits bekannt ist.
Häufig gestellte Fragen
Wie ermittelt man die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks?
Verwenden Sie A = (√3/4) × Seite². Bei einer Seitenlänge von 8 Einheiten beträgt die Fläche etwa 27,71 Quadrateinheiten.
Wie ermittelt man die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks?
Verwenden Sie h = (√3/2) × Seite. Bei einer Seitenlänge von 8 Einheiten beträgt die Höhe etwa 6,93 Einheiten.
Warum betragen alle Winkel in einem gleichseitigen Dreieck 60 Grad?
Da alle drei Seiten gleich sind, müssen auch alle drei gegenüberliegenden Winkel gleich sein (nach dem Satz des gleichschenkligen Dreiecks, der auf jedes Paar angewendet wird). Da die Summe der drei gleichen Winkel 180° ergibt, beträgt jeder Winkel 60°.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den eingeschriebenen und umschriebenen Kreisradien?
Bei einem gleichseitigen Dreieck ist der umschriebene Radius immer genau doppelt so groß wie der eingeschriebene Radius, eine Beziehung, die nur für die hohe Symmetrie dieses Dreiecks gilt.
Ist ein gleichseitiges Dreieck auch gleichschenklig?
Ja. Jedes gleichseitige Dreieck erfüllt die Bedingung eines gleichschenkligen Dreiecks (mindestens zwei gleiche Seiten), da es drei gleiche Seiten hat, was es eher zu einem Sonderfall gleichschenkliger Dreiecke als zu einer separaten Kategorie macht.
Wie wird die Höhenformel abgeleitet?
Wenn Sie eine Senkrechte von einem Scheitelpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite fallen lassen, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke mit einer Länge von 30-60-90. Die Anwendung des Satzes des Pythagoras auf eine dieser Hälften ergibt h = (√3/2) × Seite.
Können statt nur der Seite auch zwei unterschiedliche Maße angegeben werden?
Da eine Messung ein gleichseitiges Dreieck vollständig bestimmt, erfolgt die Eingabe einer zweiten, unabhängigen Messung, z. B. der Fläche, rückwärts, um stattdessen die Seitenlänge zu bestätigen oder neu zu berechnen.
Zusammenfassung
Fläche, Höhe, Umfang und Kreisradien eines gleichseitigen Dreiecks ergeben sich dank seiner drei gleichen Seiten und drei 60-Grad-Winkel alle aus seiner einzelnen Seitenlänge. Ein Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 Einheiten hat eine Fläche von etwa 27,71 Quadrateinheiten, eine Höhe von etwa 6,93 Einheiten und einen Umfang von 24 Einheiten.
Der umschriebene Kreisradius ist bei dieser Form immer genau doppelt so groß wie der umschriebene Kreisradius.