حاسبة المثلث متساوي الأضلاع تجد المساحة والارتفاع والمحيط ونصف قطر الدائرة المنقوشة والمحددة لمثلث متساوي الأضلاع من طول ضلع واحد. نظرًا لأن الجوانب الثلاثة والزوايا الثلاث للمثلث متساوي الأضلاع متساوية، فإن قياسًا واحدًا يكفي لتحديد كل خصائص الشكل الأخرى.
المثلث متساوي الأضلاع هو الأكثر تماثلًا بين جميع المثلثات: كل ضلع له نفس الطول، وكل زاوية داخلية قياسها 60 درجة بالضبط. هذا التناظر هو ما يختصر صيغ المثلث العامة إلى تعبيرات بسيطة ذات متغير واحد.
احسب مساحة المثلث متساوي الأضلاع
تأتي صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع من صيغة مساحة المثلث العامة، وقد تم تبسيطها باستخدام حقيقة أن جميع الجوانب والزوايا متساوية.
A = (√3 / 4) × side²مثال عملي: مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 8 وحدات.
1. Square the side length. 8² = 64.
2. Multiply by √3 / 4. 64 × (1.7321 / 4) = 64 × 0.4330 ≈ 27.71 وحدة مربعة.
احسب ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع
ينخفض الارتفاع (أو الارتفاع) من أي قمة متعامدة مع الجانب المقابل، مما يؤدي إلى تقسيم المثلث متساوي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين قائمي الزاوية 30-60-90.
h = (√3 / 2) × sideمثال عملي: نفس المثلث الذي طول ضلعه 8 وحدات.
1. Multiply the side by √3 / 2. 8 × (1.7321 / 2) = 8 × 0.8660 ≈ 6.93 وحدة.
نظرًا لأن جميع الأضلاع متساوية، فإن الارتفاع الذي يسقط من أي قمة يكون متطابقًا، وهو ما لا ينطبق على المثلث العام أو حتى المثلث المتساوي الساقين.
احسب المحيط
المحيط هو ببساطة ثلاثة أضعاف طول الضلع الواحد، وهو الأكثر مباشرة بين الصيغ متساوية الأضلاع.
P = 3 × sideمثال عملي: نفس المثلث الذي طول ضلعه 8 وحدات.
1. Multiply the side by 3. 3 × 8 = 24 وحدة.
أوجد نصف قطر الدائرة المنقوشة والمحدودة
المثلث متساوي الأضلاع لديه علاقة واضحة بشكل خاص مع دائرته المنقوشة (من الداخل، مماس لجميع الجوانب الثلاثة) والدائرة المقيدة (من الخارج، التي تمر عبر القمم الثلاثة).
r (inscribed) = side / (2√3)
R (circumscribed) = side / √3مثال عملي: نفس المثلث الذي طول ضلعه 8 وحدات.
نصف القطر المدرج: 8 / (2 × 1.7321) ≈ 8 / 3.4642 ≈ 2.31 وحدة.
نصف القطر المحدود: 8 / 1.7321 ≈ 4.62 وحدة.
لاحظ أن نصف القطر المحدد هو بالضبط ضعف نصف القطر المحدد لأي مثلث متساوي الأضلاع، وهي علاقة لا تنطبق عمومًا على أشكال المثلثات الأخرى.
افهم لماذا قياس كل زاوية 60 درجة
بما أن الجوانب الثلاثة للمثلث متساوي الأضلاع متساوية، فإن الزوايا الثلاث المقابلة لتلك الجوانب يجب أن تكون متساوية أيضًا، وهي نتيجة مباشرة لنظرية المثلث المتساوي الساقين المطبقة على أزواج الجوانب الثلاثة في وقت واحد. نظرًا لأن الزوايا الثلاث متساوية ويجب أن يكون مجموع قياساتها 180 درجة، فإن قياس كل واحدة منها هو بالضبط 180 ÷ 3 = 60 درجة.
قارن بين صيغ المثلث متساوي الأضلاع والعامة
| Property | General triangle | Equilateral triangle |
|---|---|---|
| área حاسبة | ½ × القاعدة × الارتفاع، أو صيغة هيرون | (√3/4) × الجانب² |
| Perimeter | a + b + c | 3 × جانب |
| Angles | vary, sum to 180° | all 60° |
الصيغ متساوية الأضلاع هي حالات خاصة من صيغ المثلث العامة؛ يزيل التماثل ببساطة الحاجة إلى مدخلات جانبية وزاوية منفصلة.
العمل من خلال المثال الكامل الثاني
مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 12 وحدة يُظهر كل صيغة معًا. 1. المساحة. (√3/4) × 12² = 0.4330 × 144 ≈ 62.35 وحدة مربعة. 2. الارتفاع. (√3/2) × 12 = 0.8660 × 12 ≈ 10.39 وحدة.
3. Perimeter. 3 × 12 = 36 وحدة.
4. Inscribed radius. 12 / (2 × 1.7321) ≈ 3.46 وحدة.
5. Circumscribed radius. 12 / 1.7321 ≈ 6.93 وحدة.
كما هو الحال مع مثال الوحدات الثمانية السابق، فإن نصف القطر المحدد هنا هو مرة أخرى ضعف نصف القطر المحدد تمامًا، مما يؤكد الحفاظ على نفس النسبة الثابتة بغض النظر عن طول الجانب المختار.
تحقق من المنطقة باستخدام صيغة هيرون كفحص متقاطع
نظرًا لأن المثلث متساوي الأضلاع يعد أيضًا مدخلاً صالحًا لصيغة هيرون العامة، فإن التعويض بثلاثة أضلاع متساوية يؤكد أن الصيغة المبسطة تعطي نفس الإجابة.
بالنسبة للضلع 8، نصف المحيط هو (8+8+8)/2 = 12، وتعطي صيغة هيرون √(12 × 4 × 4 × 4) = √768 ≈ 27.71 وحدة مربعة، مطابقة للنتيجة (√3/4) × الجانب² الموجودة سابقًا في هذه الصفحة.
يعد هذا الفحص المتقاطع طريقة مفيدة لتأكيد الصيغة المبسطة متساوية الأضلاع عندما تكون الصيغة العامة مألوفة بالفعل.
الأسئلة الشائعة
كيف يمكنك العثور على مساحة مثلث متساوي الأضلاع؟
استخدم A = (√3/4) × الجانب². بالنسبة لضلع مكون من 8 وحدات، تبلغ المساحة حوالي 27.71 وحدة مربعة.
كيف يمكنك العثور على ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع؟
استخدم h = (√3/2) × الجانب. بالنسبة لضلع مكون من 8 وحدات، يبلغ الارتفاع حوالي 6.93 وحدة.
لماذا جميع الزوايا في المثلث متساوي الأضلاع 60 درجة؟
نظرًا لأن الجوانب الثلاثة متساوية، يجب أيضًا أن تكون الزوايا الثلاث المتقابلة متساوية (بواسطة نظرية المثلث المتساوي الساقين المطبقة على كل زوج). بما أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث المتساوية هو 180 درجة، فإن قياس كل زاوية منها هو 60 درجة.
ما هي العلاقة بين نصف قطر الدائرة المنقوشة والمحددة؟
بالنسبة للمثلث متساوي الأضلاع، يكون نصف القطر المحيط دائمًا ضعف نصف القطر المحيطي، وهي علاقة فريدة من نوعها للتناظر العالي لهذا المثلث.
هل المثلث متساوي الأضلاع متساوي الساقين أيضًا؟
نعم. كل مثلث متساوي الأضلاع يحقق شرط المثلث المتساوي الساقين (ضلعان متساويان على الأقل)، حيث أن له ثلاثة أضلاع متساوية، مما يجعله حالة خاصة من متساوي الساقين وليس فئة منفصلة.
كيف يتم اشتقاق صيغة الارتفاع؟
إسقاط عمودي من قمة واحدة إلى منتصف الجانب الآخر يخلق مثلثين قائمين 30-60-90. بتطبيق نظرية فيثاغورس على أحد هذين النصفين نحصل على h = (√3/2) × الجانب.
هل يمكن إعطاء قياسين مختلفين بدلاً من قياس الجانب فقط؟
نظرًا لأن أحد القياسات يحدد المثلث متساوي الأضلاع بشكل كامل، فإن إدخال قياس مستقل ثانٍ، مثل المساحة، يعمل بشكل عكسي لتأكيد أو إعادة حساب طول الجانب بدلاً من ذلك.
ملخص
مساحة المثلث المتساوي الأضلاع وارتفاعه ومحيطه ونصف قطره كلها تتبع طول ضلعه الواحد، وذلك بفضل أضلاعه الثلاثة المتساوية وثلاث زوايا قياسها 60 درجة. المثلث الذي يتكون ضلعه من 8 وحدات تبلغ مساحته حوالي 27.71 وحدة مربعة، وارتفاعه حوالي 6.93 وحدة، ومحيطه 24 وحدة.
دائمًا ما يكون نصف قطر الدائرة المحصورة ضعف نصف قطر الدائرة المحصورة لهذا الشكل.
الآلات الحاسبة ذات الصلة
حاسبة المثلث · حاسبة المثلثات المتساوية · حاسبة المثلث القائم