Liksidig triangelberäknare hittar arean, höjden, omkretsen och inskrivna och omskrivna cirkelradier för en liksidig triangel från en enda sidolängd. Eftersom alla tre sidorna och alla tre vinklarna i en liksidig triangel är lika, räcker ett mått för att bestämma varannan egenskap hos formen.
En liksidig triangel är den mest symmetriska av alla trianglar: varje sida mäter samma längd och varje inre vinkel mäter exakt 60 grader. Den symmetrin är det som kollapsar de allmänna triangelformlerna till enkla uttryck med en variabel.
Beräkna arean av en liksidig triangel
Areaformeln för en liksidig triangel kommer från den allmänna triangelareaformeln, förenklad med det faktum att alla sidor och vinklar är lika.
A = (√3 / 4) × side²Bearbetat exempel: en liksidig triangel med en sida på 8 enheter.
1. Square the side length. 8² = 64.
2. Multiply by √3 / 4. 64 × (1,7321 / 4) = 64 × 0,4330 ≈ 27,71 kvadratenheter.
Beräkna höjden på en liksidig triangel
Höjden (eller höjden) sjunker från vilken vertex som helst som är vinkelrät mot den motsatta sidan och delar upp den liksidiga triangeln i två kongruenta 30-60-90 rätvinkliga trianglar.
h = (√3 / 2) × sideArbetat exempel: samma triangel med en sida på 8 enheter.
1. Multiply the side by √3 / 2. 8 × (1,7321 / 2) = 8 × 0,8660 ≈ 6,93 enheter.
Eftersom varje sida är lika, är höjden som faller från valfri vertex identisk, vilket inte är sant för en allmän skalan eller ens likbent triangel.
Beräkna omkretsen
Omkretsen är helt enkelt tre gånger enkelsidans längd, den mest direkta av de liksidiga formlerna.
P = 3 × sideArbetat exempel: samma triangel med en sida på 8 enheter.
1. Multiply the side by 3. 3 × 8 = 24 enheter.
Hitta de inskrivna och omskrivna cirkelradierna
En liksidig triangel har ett särskilt rent förhållande med sin inskrivna cirkel (inuti, tangent till alla tre sidor) och omskrivna cirkel (utanför, som går genom alla tre hörn).
r (inscribed) = side / (2√3)
R (circumscribed) = side / √3Arbetat exempel: samma triangel med en sida på 8 enheter.
Inskriven radie: 8 / (2 × 1,7321) ≈ 8 / 3,4642 ≈ 2,31 enheter.
Omskriven radie: 8 / 1,7321 ≈ 4,62 enheter.
Lägg märke till att den omskrivna radien är exakt två gånger den inskrivna radien för en liksidig triangel, ett förhållande som vanligtvis inte gäller för andra triangelformer.
Förstå varför varje vinkel är 60 grader
Eftersom alla tre sidorna i en liksidig triangel är lika, måste alla tre vinklarna mittemot dessa sidor också vara lika, en direkt följd av den likbenta triangelsatsen som tillämpas på alla tre paren av sidor samtidigt. Eftersom de tre vinklarna är lika och måste summera till 180 grader, är var och en exakt 180 / 3 = 60 grader.
Jämför liksidiga och allmänna triangelformler
| Property | General triangle | Equilateral triangle |
|---|---|---|
| área kalkylator | ½ × bas × höjd, eller Herons formel | (√3/4) × sida² |
| Perimeter | a + b + c | 3 × sida |
| Angles | vary, sum to 180° | all 60° |
De liksidiga formlerna är specialfall av de allmänna triangelformlerna; symmetrin tar helt enkelt bort behovet av separata sido- och vinkelingångar.
Arbeta igenom ett andra fullständigt exempel
En liksidig triangel med en sida på 12 enheter visar varje formel tillsammans. 1. Area. (√3/4) × 12² = 0,4330 × 144 ≈ 62,35 kvadratenheter. 2. Höjd. (√3/2) × 12 = 0,8660 × 12 ≈ 10,39 enheter.
3. Perimeter. 3 × 12 = 36 enheter.
4. Inscribed radius. 12 / (2 × 1,7321) ≈ 3,46 enheter.
5. Circumscribed radius. 12 / 1,7321 ≈ 6,93 enheter.
Som med exemplet med 8 enheter tidigare är den omskrivna radien här återigen exakt dubbelt så stor som den inskrivna radien, vilket bekräftar att samma fasta förhållande gäller oavsett vilken sidolängd som väljs.
Verifiera området med hjälp av Herons formel som en krysskontroll
Eftersom en liksidig triangel också är en giltig inmatning till den allmänna Herons formel, bekräftar inkoppling av tre lika sidor att den förenklade formeln ger samma svar.
För en sida på 8 är halvomkretsen (8+8+8)/2 = 12, och Herons formel ger √(12 × 4 × 4 × 4) = √768 ≈ 27,71 kvadratenheter, vilket matchar (√3/4) × side²-resultatet som hittades tidigare på den här sidan.
Denna korskontroll är ett användbart sätt att bekräfta den förenklade liksidiga formeln närhelst den allmänna formeln redan är bekant.
Vanliga frågor
Hur hittar man arean av en liksidig triangel?
Använd A = (√3/4) × sida². För en sida på 8 enheter är ytan cirka 27,71 kvadratenheter.
Hur hittar man höjden på en liksidig triangel?
Använd h = (√3/2) × sida. För en sida på 8 enheter är höjden cirka 6,93 enheter.
Varför är alla vinklarna i en liksidig triangel 60 grader?
Eftersom alla tre sidor är lika, måste alla tre motsatta vinklar också vara lika (genom den likbenta triangelsatsen som tillämpas på varje par). Eftersom de tre lika stora vinklarna summerar till 180° är var och en 60°.
Vad är förhållandet mellan den inskrivna och omskrivna cirkelradien?
För en liksidig triangel är den omskrivna radien alltid exakt två gånger den inskrivna radien, ett förhållande som är unikt för denna triangels höga symmetri.
Är en liksidig triangel också likbent?
Ja. Varje liksidig triangel uppfyller villkoret för likbent triangel (minst två lika sidor), eftersom den har tre lika sidor, vilket gör det till ett specialfall av likbent snarare än en separat kategori.
Hur härleds höjdformeln?
Att släppa en vinkelrät från en vertex till mittpunkten på den motsatta sidan skapar två 30-60-90 räta trianglar. Att tillämpa Pythagoras sats på en av dessa halvor ger h = (√3/2) × sidan.
Kan två olika mått ges istället för bara sidan?
Eftersom en mätning helt bestämmer en liksidig triangel, går in i en andra, oberoende mätning, såsom arean, bakåt för att bekräfta eller räkna om sidolängden istället.
Sammanfattning
En liksidig triangels area, höjd, omkrets och cirkelradier följer alla från dess enda sidolängd, tack vare dess tre lika sidor och tre 60-gradersvinklar. En triangel med en sida på 8 enheter har en yta på cirka 27,71 kvadratenheter, en höjd på cirka 6,93 enheter och en omkrets på 24 enheter.
Den omskrivna cirkelradien är alltid exakt två gånger den inskrivna cirkelradien för denna form.
Relaterade miniräknare
Triangelkalkylator · Trianglar Likbenta miniräknare · Räknare för rät triangel