Le calculateur de triangle équilatéral trouve l'aire, la hauteur, le périmètre et les rayons de cercle inscrits et circonscrits d'un triangle équilatéral à partir d'une seule longueur de côté. Étant donné que les trois côtés et les trois angles d’un triangle équilatéral sont égaux, une seule mesure suffit pour déterminer toutes les autres propriétés de la forme.
Un triangle équilatéral est le plus symétrique de tous les triangles : chaque côté mesure la même longueur et chaque angle intérieur mesure exactement 60 degrés. Cette symétrie est ce qui réduit les formules triangulaires générales à de simples expressions à une variable.
Calculer l'aire d'un triangle équilatéral
La formule de l'aire d'un triangle équilatéral provient de la formule générale de l'aire d'un triangle, simplifiée par le fait que tous les côtés et tous les angles sont égaux.
A = (√3 / 4) × side²Exemple concret : un triangle équilatéral de côté de 8 unités.
1. Square the side length. 8² = 64.
2. Multiply by √3 / 4. 64 × (1,7321 / 4) = 64 × 0,4330 ≈ 27,71 unités carrées.
Calculer la hauteur d'un triangle équilatéral
La hauteur (ou l'altitude) diminue à partir de n'importe quel sommet perpendiculaire au côté opposé, divisant le triangle équilatéral en deux triangles rectangles 30-60-90 congrus.
h = (√3 / 2) × sideExemple travaillé : le même triangle avec un côté de 8 unités.
1. Multiply the side by √3 / 2. 8 × (1,7321 / 2) = 8 × 0,8660 ≈ 6,93 unités.
Parce que chaque côté est égal, la hauteur tombée de n’importe quel sommet est identique, ce qui n’est pas vrai pour un triangle scalène général ou même isocèle.
Calculer le périmètre
Le périmètre est simplement trois fois la longueur d’un seul côté, la plus directe des formules équilatérales.
P = 3 × sideExemple travaillé : le même triangle avec un côté de 8 unités.
1. Multiply the side by 3. 3 × 8 = 24 unités.
Trouver les rayons du cercle inscrit et circonscrit
Un triangle équilatéral a une relation particulièrement nette avec son cercle inscrit (à l'intérieur, tangent aux trois côtés) et son cercle circonscrit (à l'extérieur, passant par les trois sommets).
r (inscribed) = side / (2√3)
R (circumscribed) = side / √3Exemple travaillé : le même triangle avec un côté de 8 unités.
Rayon inscrit : 8 / (2 × 1,7321) ≈ 8 / 3,4642 ≈ 2,31 unités.
Rayon circonscrit : 8 / 1,7321 ≈ 4,62 unités.
Notez que le rayon circonscrit est exactement le double du rayon inscrit pour tout triangle équilatéral, une relation qui ne s'applique généralement pas aux autres formes de triangle.
Comprenez pourquoi chaque angle est de 60 degrés
Puisque les trois côtés d'un triangle équilatéral sont égaux, les trois angles opposés à ces côtés doivent également être égaux, conséquence directe du théorème du triangle isocèle appliqué aux trois paires de côtés à la fois. Parce que les trois angles sont égaux et doivent totaliser 180 degrés, chacun vaut exactement 180/3 = 60 degrés.
Comparez les formules de triangle équilatéral et général
| Property | General triangle | Equilateral triangle |
|---|---|---|
| Calculatrice de área | ½ × base × hauteur, ou formule de Heron | (√3/4) × côté² |
| Perimeter | a + b + c | 3 × côté |
| Angles | vary, sum to 180° | all 60° |
Les formules équilatérales sont des cas particuliers des formules triangulaires générales ; la symétrie supprime simplement le besoin d'entrées latérales et d'angle séparées.
Travaillez sur un deuxième exemple complet
Un triangle équilatéral avec un côté de 12 unités montre toutes les formules ensemble. 1. Superficie. (√3/4) × 12² = 0,4330 × 144 ≈ 62,35 unités carrées. 2. Hauteur. (√3/2) × 12 = 0,8660 × 12 ≈ 10,39 unités.
3. Perimeter. 3 × 12 = 36 unités.
4. Inscribed radius. 12 / (2 × 1,7321) ≈ 3,46 unités.
5. Circumscribed radius. 12 / 1,7321 ≈ 6,93 unités.
Comme dans l'exemple à 8 unités précédent, le rayon circonscrit est ici encore exactement le double du rayon inscrit, confirmant que le même rapport fixe est valable quelle que soit la longueur du côté choisi.
Vérifiez la zone en utilisant la formule de Heron comme vérification croisée
Parce qu'un triangle équilatéral est également une entrée valide pour la formule générale de Heron, le fait de brancher trois côtés égaux confirme que la formule simplifiée donne la même réponse.
Pour un côté de 8, le demi-périmètre est (8+8+8)/2 = 12, et la formule de Heron donne √(12 × 4 × 4 × 4) = √768 ≈ 27,71 unités carrées, correspondant au résultat (√3/4) × côté² trouvé plus tôt sur cette page.
Ce recoupement est un moyen utile de confirmer la formule équilatérale simplifiée lorsque la formule générale est déjà familière.
Questions fréquentes
Comment trouver l’aire d’un triangle équilatéral ?
Utilisez A = (√3/4) × côté². Pour un côté de 8 unités, la superficie est d'environ 27,71 unités carrées.
Comment trouver la hauteur d’un triangle équilatéral ?
Utilisez h = (√3/2) × côté. Pour un côté de 8 unités, la hauteur est d'environ 6,93 unités.
Pourquoi tous les angles d’un triangle équilatéral font-ils 60 degrés ?
Parce que les trois côtés sont égaux, les trois angles opposés doivent également être égaux (par le théorème du triangle isocèle appliqué à chaque paire). Puisque la somme des trois angles égaux donne 180°, chacun fait 60°.
Quelle est la relation entre les rayons du cercle inscrit et circonscrit ?
Pour un triangle équilatéral, le rayon circonscrit est toujours exactement le double du rayon inscrit, relation unique à la haute symétrie de ce triangle.
Un triangle équilatéral est-il également isocèle ?
Oui. Chaque triangle équilatéral satisfait à la condition du triangle isocèle (au moins deux côtés égaux), puisqu'il a trois côtés égaux, ce qui en fait un cas particulier d'isocèle plutôt qu'une catégorie distincte.
Comment la formule de hauteur est-elle dérivée ?
Faire tomber une perpendiculaire d'un sommet au milieu du côté opposé crée deux triangles rectangles 30-60-90. L'application du théorème de Pythagore à l'une de ces moitiés donne h = (√3/2) × côté.
Peut-on donner deux mesures différentes au lieu de seulement le côté ?
Étant donné qu'une mesure détermine entièrement un triangle équilatéral, la saisie d'une deuxième mesure indépendante, telle que l'aire, fonctionne à rebours pour confirmer ou recalculer la longueur du côté.
Résumé
L'aire, la hauteur, le périmètre et les rayons du cercle d'un triangle équilatéral découlent tous de la longueur de son seul côté, grâce à ses trois côtés égaux et ses trois angles de 60 degrés. Un triangle avec un côté de 8 unités a une aire d'environ 27,71 unités carrées, une hauteur d'environ 6,93 unités et un périmètre de 24 unités.
Le rayon du cercle circonscrit est toujours exactement le double du rayon du cercle inscrit pour cette forme.