Eşkenar Üçgen Hesaplayıcısı, tek bir kenar uzunluğundan bir eşkenar üçgenin alanını, yüksekliğini, çevresini ve yazılı ve çevrelenmiş daire yarıçaplarını bulur. Eşkenar üçgenin üç tarafı ve üç açısı da eşit olduğundan, şeklin diğer tüm özelliklerini belirlemek için tek bir ölçüm yeterlidir.
Eşkenar üçgen tüm üçgenler arasında en simetrik olanıdır: her kenar aynı uzunluğu ölçer ve her iç açı tam olarak 60 derecedir. Bu simetri, genel üçgen formüllerini basit tek değişkenli ifadelere indirgeyen şeydir.
Eşkenar üçgenin alanını hesaplayın
Eşkenar üçgenin alan formülü, tüm kenarların ve açıların eşit olduğu gerçeği kullanılarak basitleştirilmiş genel üçgen alan formülünden gelir.
A = (√3 / 4) × side²Çözümlü örnek: bir kenarı 8 birim olan eşkenar üçgen.
1. Square the side length. 8² = 64.
2. Multiply by √3 / 4. 64 × (1,7321 / 4) = 64 × 0,4330 ≈ 27,71 birim kare.
Eşkenar üçgenin yüksekliğini hesaplayın
Yükseklik (veya yükseklik) karşı tarafa dik olan herhangi bir tepe noktasından düşerek eşkenar üçgeni 30-60-90 derecelik iki uyumlu dik üçgene böler.
h = (√3 / 2) × sideÇözümlü örnek: bir kenarı 8 birim olan aynı üçgen.
1. Multiply the side by √3 / 2. 8 × (1,7321 / 2) = 8 × 0,8660 ≈ 6,93 birim.
Her kenar eşit olduğundan, herhangi bir tepe noktasından düşen yükseklik aynıdır; bu, genel bir çeşitkenar ve hatta ikizkenar üçgen için doğru değildir.
Çevreyi hesapla
Çevre, eşkenar formüllerin en doğrudan olanı olan tek kenar uzunluğunun üç katıdır.
P = 3 × sideÇözümlü örnek: bir kenarı 8 birim olan aynı üçgen.
1. Multiply the side by 3. 3 × 8 = 24 birim.
Yazılı ve çevrelenmiş daire yarıçaplarını bulun
Bir eşkenar üçgenin, yazılı dairesi (içteki, üç kenara teğet) ve çevrelenmiş dairesi (dışarıdaki, üç köşenin hepsinden geçen) ile özellikle temiz bir ilişkisi vardır.
r (inscribed) = side / (2√3)
R (circumscribed) = side / √3Çözümlü örnek: bir kenarı 8 birim olan aynı üçgen.
Yazılı yarıçap: 8 / (2 × 1,7321) ≈ 8 / 3,4642 ≈ 2,31 birim.
Çevrelenmiş yarıçap: 8 / 1,7321 ≈ 4,62 birim.
Herhangi bir eşkenar üçgen için çevrelenen yarıçapın, yazılı yarıçapın tam olarak iki katı olduğuna dikkat edin; bu ilişki diğer üçgen şekilleri için genellikle geçerli değildir.
Her açının neden 60 derece olduğunu anlayın
Bir eşkenar üçgenin üç kenarı da eşit olduğundan, bu kenarların karşısındaki üç açının da eşit olması gerekir; bu, üç kenar çiftine aynı anda uygulanan ikizkenar üçgen teoreminin doğrudan bir sonucudur. Üç açı eşit olduğundan ve toplamı 180 derece olması gerektiğinden, her biri tam olarak 180/3 = 60 derecedir.
Eşkenar ve genel üçgen formüllerini karşılaştırın
| Property | General triangle | Equilateral triangle |
|---|---|---|
| área hesaplayıcı | ½ × taban × yükseklik veya Heron formülü | (√3/4) × kenar² |
| Perimeter | a + b + c | 3 × yan |
| Angles | vary, sum to 180° | all 60° |
Eşkenar formüller genel üçgen formüllerinin özel durumlarıdır; simetri, ayrı yan ve açı girişlerine olan ihtiyacı ortadan kaldırır.
İkinci bir tam örnek üzerinde çalışın
Bir kenarı 12 birim olan eşkenar üçgen her formülü bir arada gösterir. 1. Alan. (√3/4) × 12² = 0,4330 × 144 ≈ 62,35 birim kare. 2. Yükseklik. (√3/2) × 12 = 0,8660 × 12 ≈ 10,39 birim.
3. Perimeter. 3 × 12 = 36 birim.
4. Inscribed radius. 12 / (2 × 1,7321) ≈ 3,46 birim.
5. Circumscribed radius. 12 / 1,7321 ≈ 6,93 birim.
Daha önce verilen 8 birimlik örnekte olduğu gibi, burada çevrelenen yarıçap, yine yazılı yarıçapın tam olarak iki katıdır; bu da seçilen kenar uzunluğundan bağımsız olarak aynı sabit oranın geçerli olduğunu doğrular.
Çapraz kontrol olarak Heron formülünü kullanarak alanı doğrulayın
Eşkenar üçgen aynı zamanda genel Heron formülüne de geçerli bir girdi olduğundan, üç eşit kenarın eklenmesi, basitleştirilmiş formülün aynı cevabı verdiğini doğrular.
8'in bir kenarı için yarı çevre (8+8+8)/2 = 12'dir ve Heron formülü, bu sayfada daha önce bulunan (√3/4) × kenar² sonucuyla eşleşen √(12 × 4 × 4 × 4) = √768 ≈ 27,71 birim kareyi verir.
Bu çapraz kontrol, genel formülün zaten bilindiği durumlarda basitleştirilmiş eşkenar formülü doğrulamanın yararlı bir yoludur.
Sıkça sorulan sorular
Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur?
A = (√3/4) × kenar²'yi kullanın. 8 birimlik bir kenar için alan yaklaşık 27,71 birim karedir.
Eşkenar üçgenin yüksekliğini nasıl buluyorsunuz?
h = (√3/2) × kenarını kullanın. 8 birimlik bir kenar için yükseklik yaklaşık 6,93 birimdir.
Eşkenar üçgenin tüm açıları neden 60 derecedir?
Üç kenarın tümü eşit olduğundan, karşıt üç açının da eşit olması gerekir (her çifte uygulanan ikizkenar üçgen teoremine göre). Üç eşit açının toplamı 180° olduğundan her biri 60° olur.
Yazılı ve çevrelenmiş daire yarıçapları arasındaki ilişki nedir?
Bir eşkenar üçgen için, çevrelenen yarıçap her zaman, bu üçgenin yüksek simetrisine özgü bir ilişki olan, yazılı yarıçapın tam olarak iki katıdır.
Eşkenar üçgen aynı zamanda ikizkenar mıdır?
Evet. Her eşkenar üçgen, üç eşit kenara sahip olduğundan ikizkenar üçgen koşulunu (en az iki eşit kenar) karşılar, bu da onu ayrı bir kategoriden ziyade ikizkenarın özel bir durumu haline getirir.
Yükseklik formülü nasıl elde edilir?
Bir köşeden karşı kenarın orta noktasına dik bir çizgi bırakıldığında 30-60-90 boyutunda iki dik üçgen oluşur. Pisagor teoremini bu yarımlardan birine uyguladığımızda h = (√3/2) × kenar elde edilir.
Sadece kenar yerine iki farklı ölçü verilebilir mi?
Bir ölçüm eşkenar üçgeni tam olarak belirlediğinden, alan gibi ikinci, bağımsız bir ölçümün girilmesi, bunun yerine kenar uzunluğunu doğrulamak veya yeniden hesaplamak için geriye doğru çalışır.
Özet
Eşkenar üçgenin alanı, yüksekliği, çevresi ve daire yarıçaplarının tümü, üç eşit kenarı ve üç 60 derecelik açısı sayesinde tek kenar uzunluğundan kaynaklanır. Bir kenarı 8 birim olan bir üçgenin alanı yaklaşık 27,71 birim kare, yüksekliği yaklaşık 6,93 birim ve çevresi 24 birimdir.
Sınırlandırılmış daire yarıçapı her zaman bu şeklin yazılı daire yarıçapının tam olarak iki katıdır.
İlgili hesap makineleri
Üçgen Hesaplayıcı · Üçgen İkizkenar Hesaplayıcı · Dik Üçgen Hesaplayıcı