QuickCalculators вычисляет скалярное произведение двух векторов одинаковой длины путем суммирования покомпонентных произведений и может определить угол между ними на основе величин. Введите соответствующие компоненты для каждого вектора, прочитайте скалярный результат и используйте формулы величины, когда запрашивается косинусный угол.
Вычислить скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение двух векторов представляет собой один скаляр, а не другой вектор. Умножьте соответствующие компоненты, затем добавьте эти продукты. На курсах геометрии этот скаляр используется для проверки перпендикулярности и нахождения углов; На курсах физики его используют для работы и прогнозов. QuickCalculators требует одинаковой длины и блокирует несовпадающие размеры с объяснением, а не с молчаливым отказом.
Для векторов в двух или трех измерениях арифметика выполняется по той же схеме, но с большим количеством членов. Высшие измерения соответствуют одной и той же сумме, если оба вектора имеют одинаковое количество компонентов.
Читать покомпонентные продукты
Покомпонентные произведения представляют собой отдельные умножения перед окончательной суммой. Запись их в отдельных строках облегчает поиск арифметических ошибок. Калькулятор перечисляет каждое u_i, умноженное на v_i, затем суммирует эти значения в скалярном произведении, чтобы работа соответствовала рукописным решениям.
Предположим, что u равно [1, 2, 3], а v равно [4, 5, 6]. Компонентные продукты - это 1, умноженный на 4, 2, умноженный на 5, и 3, умноженный на 6, что равно 4, 10 и 18. Их добавление дает 32, результат, согласованный с движком для этой пары.
Найдите угол между векторами
Угол тета между двумя ненулевыми векторами удовлетворяет условию: u точка v равна величине u, умноженной на величину v, умноженной на косинус тета. При решении теты используется обратный косинус нормализованного скалярного произведения. QuickCalculators вычисляет этот косинус, когда доступны величины, и предупреждает, когда нулевой вектор делает угол неопределенным.
Скалярное произведение, равное нулю, означает, что векторы перпендикулярны, поэтому тета составляет 90 градусов, когда оба вектора ненулевые. Положительные косинусы дают острые углы; отрицательные косинусы дают тупые углы между векторами.
Используйте формулы величин
Величина вектора, это квадратный корень из суммы квадратов компонентов. Для u равно [u1, u2, u3] величина равна квадратному корню из u1 в квадрате плюс u2 в квадрате плюс u3 в квадрате, и та же формула применима к v. Эти длины учитываются в формуле угла, а также описывают размер вектора независимо от направления.
QuickCalculators печатает обе величины рядом с угловой траекторией, чтобы можно было проверить коэффициент косинуса: (u точка v) разделить на (|u| раз |v|). Точные квадратные корни остаются упрощенными, если сумма квадратов представляет собой идеальный квадрат.
Рабочий пример с [1,2,3] и [4,5,6]
В проработанном примере [1, 2, 3] ставятся точки [4, 5, 6] и получается 32. Умножьте компоненты по порядку, добавьте три продукта, затем, при необходимости, вычислите величины, если необходим угол. Скаляр 32 является основным ответом на простой вопрос о скалярном произведении.
- Формируем составные продукты: 1 раз, 4 равно 4, 2 раза, 5 раза, 10, 3, раз 6 равно 18.
- Сумма: 4 плюс 10 плюс 18 равна 32.
- Дополнительные величины: |u| равно квадратному корню из 14, |v| равен квадратному корню из 77 для угла через косинус.
Эта сумма 32 является результатом фиксации, показанным на QuickCalculators для этих векторов.
Избегайте этой распространенной ошибки
Заблуждение под названием «скалярное произведение возвращает вектор составных произведений» путает скалярное произведение с поэлементным умножением. Поэлементное умножение даст [4, 10, 18], но скалярное произведение суммирует эти значения в скаляр 32. Всегда заканчивайте суммой, если операция представляет собой скалярное произведение.
Часто задаваемые вопросы
Что такое скалярное произведение?
Скалярное произведение, это сумма соответствующих составляющих произведений двух векторов одинаковой длины, дающая скаляр. Его еще называют скалярным произведением. QuickCalculators перечисляет каждый продукт, а затем общую сумму для введенных векторов.
Что такое [1,2,3] точка [4,5,6]?
Скалярное произведение [1, 2, 3] и [4, 5, 6] равно 32, потому что 4 плюс 10 плюс 18 равно 32. Введите эти компоненты здесь, чтобы увидеть те же строки компонентов и общую сумму.
Как найти угол между двумя векторами?
Для нахождения угла между двумя векторами используется косинус тета, равный (u точка v), деленный на (|u| умноженный на |v|), а затем берется обратный косинус. Оба вектора должны быть ненулевыми. Страница сообщает об этом угле при вычислении магнитуд.
Когда скалярное произведение равно нулю?
Скалярное произведение равно нулю, когда векторы перпендикулярны, при условии, что ни один из векторов не является нулевым вектором. В компонентах суммированные произведения сокращаются до нуля. Этот тест часто выполняется быстрее, чем вычисление явного угла 90 градусов.
Какова величина вектора?
Величина вектора равна квадратному корню из суммы его квадратов компонентов. Он измеряет длину и появляется в знаменателе формулы косинуса. QuickCalculators показывает величины, когда запрашивается вывод угла.
Нужно ли векторам одинаковое количество компонентов?
Векторам требуется одинаковое количество компонентов для определенного действительного скалярного произведения в этом инструменте. Несоответствие длины блокирует расчет с сообщением о размере. Дополнять или усекать только тогда, когда это предусмотрено конкретным соглашением курса; по умолчанию здесь требуется совпадение.
Краткое резюме
QuickCalculators образует скалярное произведение путем умножения совпадающих компонентов и суммирования до скаляра, как в [1, 2, 3], разделенных точками с [4, 5, 6], равным 32. Величины используют квадратные корни из суммированных квадратов и передают формулу угла косинуса для ненулевых векторов.
Нулевое скалярное произведение сигнализирует о перпендикулярных векторах. Не останавливайтесь на списке компонентов; определяющий последний шаг - это сумма, которая дает скаляр.