QuickCalculators は、成分ごとの積を合計することによって 2 つの等しい長さのベクトルの内積を計算し、大きさからそれらの間の角度を報告できます。各ベクトルに一致する成分を入力し、スカラー結果を読み取り、コサイン角が要求された場合は大きさの公式を使用します。
2 つのベクトルの内積を計算します。
2 つのベクトルの内積は 1 つのスカラーであり、別のベクトルではありません。対応するコンポーネントを乗算し、それらの積を加算します。幾何学コースでは、そのスカラーを使用して直角度をテストし、角度を見つけます。物理コースでは、作業や投影にこれを使用します。 QuickCalculators は等しい長さを要求し、サイレントエラーではなく説明を表示して寸法の不一致をブロックします。
2 次元または 3 次元のベクトルの場合、算術演算はより多くの項を含む同じパターンになります。両方のベクトルが同じ数の成分を共有する限り、より高い次元は同じ合計に従います。
コンポーネントごとの製品を読む
コンポーネントごとの積は、最終的な合計の前の個々の乗算です。それらを別々の行に記述すると、算術エラーを見つけやすくなります。計算機は各 u_i と v_i をリストし、それらの値を合計して内積を計算し、作業が手書きの解と一致するようにします。
u は [1, 2, 3] に等しく、v は [4, 5, 6] に等しいとします。構成製品は、1 倍 4、2 倍 5、および 3 倍 6 であり、4、10、18 に等しくなります。それらを追加すると、このペアのエンジン調整結果である 32 が得られます。
ベクトル間の角度を求める
2 つの非ゼロ ベクトル間の角度シータは、u ドット v が u の大きさに v の大きさを乗じてシータのコサインを掛けたものに等しいという条件を満たします。シータを求めるには、正規化された内積の逆余弦を使用します。 QuickCalculators は、大きさが利用可能な場合にその余弦を計算し、ゼロ ベクトルにより角度が未定義になる場合に警告します。
ドット積が 0 の場合、ベクトルが垂直であることを意味するため、両方のベクトルが 0 以外の場合、シータは 90 度になります。正のコサインは鋭角を与えます。負のコサインはベクトル間に鈍角を与えます。
マグニチュードの公式を使用する
ベクトルの大きさは、二乗成分の合計の平方根です。 u が [u1, u2, u3] に等しい場合、大きさは u1 の 2 乗と u2 の 2 乗と u3 の 2 乗の平方根であり、同じ式が v にも適用されます。これらの長さは角度の式に入力され、方向に関係なくベクトル サイズも記述されます。
QuickCalculators は両方の大きさを角度パスの横に出力するので、コサイン商を確認できます: (u dot v) を (|u| 倍 |v|) で割ります。二乗和が完全二乗である場合、正確な平方根は単純化されたままになります。
[1,2,3] および [4,5,6] で動作した例
実行例では、[1, 2, 3] を [4, 5, 6] と打点し、32 を取得します。コンポーネントを順番に乗算し、3 つの積を加算し、角度が必要な場合はオプションで大きさを計算します。スカラー 32 は、単純な内積の質問に対する主な答えです。
1。フォームコンポーネント製品: 1 倍 4 は 4、2 倍 5 は 10、3 倍 6 は 18 となります。 2。合計: 4 プラス 10 プラス 18 は 32 と等しくなります。 3。オプションの大きさ: |u| 14 の平方根に等しい、|v|コサインによる角度の 77 の平方根に等しい。
32 の合計は、これらのベクトルの QuickCalculators に表示されるフィクスチャの結果です。
このよくある間違いを避けてください
「内積は成分積のベクトルを返す」という誤解により、内積と要素ごとの乗算が混同されます。要素ごとの乗算では [4, 10, 18] が得られますが、内積によりこれらの値がスカラー 32 に合計されます。演算がドット積である場合は、必ず合計で終了します。
よくある質問
ドット積とは何ですか?
ドット積は、2 つの等しい長さのベクトルの対応する成分積の合計であり、スカラーを生成します。スカラー積とも呼ばれます。 QuickCalculators は、入力されたベクトルの各積をリストし、次に合計をリストします。
[1,2,3] ドット [4,5,6] とは何ですか?
[1, 2, 3] と [4, 5, 6] の内積は、4 プラス 10 プラス 18 であるため、32 と等しくなります。 32 に相当します。ここにこれらのコンポーネントを入力すると、同じコンポーネントの明細と合計が表示されます。
2 つのベクトル間の角度はどうやって求めますか?
2 つのベクトル間の角度を求めるには、θ に等しい (u ドット v) の余弦を (|u| 倍 |v|) で割ってから、逆余弦を求めます。両方のベクトルはゼロ以外でなければなりません。このページでは、等級が計算されるときの角度が報告されます。
内積がゼロになるのはいつですか?
どちらのベクトルもゼロ ベクトルでない限り、ベクトルが垂直である場合、ドット積はゼロになります。コンポーネントでは、合計された積はゼロになります。このテストは、多くの場合、明示的な 90 度の角度を計算するよりも高速です。
ベクトルの大きさはいくらですか?
ベクトルの大きさは、その二乗成分の合計の平方根です。これは長さを測定し、コサイン角の式の分母に表示されます。 QuickCalculators は角度出力が要求されたときの大きさを示します。
ベクトルには同じ数のコンポーネントが必要ですか?
ベクトルには、このツールで定義された実数内積と同じ数のコンポーネントが必要です。長さが一致しないと、寸法メッセージが表示されて計算がブロックされます。パディングまたは切り捨ては、特定のコース規約で定められている場合にのみ行います。ここでのデフォルトでは一致が必要です。
まとめ
QuickCalculators は、32 に等しい [4, 5, 6] が点在する [1, 2, 3] のように、一致するコンポーネントを乗算してスカラーに合計することによって内積を形成します。振幅は二乗和の平方根を使用し、ゼロ以外のベクトルの余弦角の式を入力します。
ゼロのドット積は垂直ベクトルを示します。コンポーネントごとのリストにとどまらないでください。定義する最後のステップは、スカラーを生成する合計です。