QuickCalculators iki eşit uzunlukta vektörün nokta çarpımını bileşen bazında çarpımları toplayarak hesaplar ve büyüklüklerden aralarındaki açıyı bildirebilir. Her vektör için eşleşen bileşenleri girin, skaler sonucu okuyun ve kosinüs açısı istendiğinde büyüklük formüllerini kullanın.
İki vektörün nokta çarpımını hesaplayın
İki vektörün nokta çarpımı tek bir skalerdir, başka bir vektör değil. Karşılık gelen bileşenleri çarpın ve ardından bu ürünleri ekleyin. Geometri dersleri bu skaleri dikliği test etmek ve açıları bulmak için kullanır; fizik dersleri bunu iş ve projeksiyonlar için kullanır. QuickCalculators eşit uzunluklar gerektirir ve uyumsuz boyutları sessiz bir arıza yerine bir açıklamayla bloke eder.
İki veya üç boyutlu vektörler için aritmetik, daha fazla terim içeren aynı modeldir. Her iki vektör de aynı sayıda bileşeni paylaştığı sürece daha yüksek boyutlar aynı toplamı takip eder.
Bileşen bazlı ürünleri okuyun
Bileşen bazında ürünler, nihai toplamdan önceki bireysel çarpımlardır. Bunları ayrı satırlara yazmak aritmetik hataların bulunmasını kolaylaştırır. Hesap makinesi her u_i çarpı v_i'yi listeler, ardından bu değerleri nokta çarpımına toplar, böylece çalışma el yazısı çözümlerle eşleşir.
u'nun [1, 2, 3] ve v'nin [4, 5, 6]'e eşit olduğunu alın. Bileşen ürünleri 1 çarpı 4, 2 çarpı 5 ve 3 çarpı 6 olup, bunlar 4, 10 ve 18'ye eşittir. Bunları eklemek, bu çift için motora göre hizalanmış sonuç olan 32'yi verir.
Vektörler arasındaki açıyı bulun
Sıfırdan farklı iki vektör arasındaki teta açısı şunu sağlar: u nokta v eşittir u'nun büyüklüğü çarpı v'nin büyüklüğü çarpı tetanın kosinüsü. Tetanın çözümü, normalleştirilmiş nokta çarpımın ters kosinüsünü kullanır. QuickCalculators, büyüklükler mevcut olduğunda kosinüsü hesaplar ve sıfır vektörü açıyı tanımsız hale getirdiğinde uyarı verir.
Sıfırın nokta çarpımı, vektörlerin dik olduğu anlamına gelir, dolayısıyla her iki vektör de sıfırdan farklı olduğunda teta 90 derecedir. Pozitif kosinüsler dar açılar verir; Negatif kosinüsler vektörler arasında geniş açılar verir.
Büyüklük formüllerini kullanın
Bir vektörün büyüklüğü, kareli bileşenlerin toplamının kareköküdür. u eşittir [u1, u2, u3] için büyüklük u1 kare artı u2 kare artı u3 karenin kareköküdür ve aynı formül v için de geçerlidir. Bu uzunluklar açı formülünü besler ve ayrıca yönden bağımsız vektör boyutunu tanımlar.
QuickCalculators açı yolunun yanında her iki büyüklüğü de yazdırır, böylece kosinüs bölümü kontrol edilebilir: (u nokta v) bölü (|u| çarpı |v|). Karelerin toplamı tam kare olduğunda tam karekökler basitleştirilmiş olarak kalır.
[1,2,3] ve [4,5,6] ile çalışılan örnek
Çalışılan örnek, [1, 2, 3]'yi [4, 5, 6] ile noktalıyor ve 32 elde ediyor. Bileşenleri sırayla çarpın, üç çarpımı ekleyin, ardından isteğe bağlı olarak eğer bir açı gerekiyorsa büyüklükleri hesaplayın. Skaler 32 düz nokta çarpım sorusunun birincil cevabıdır.
- Bileşen ürünlerini oluşturun: 1 çarpı 4 eşittir 4, 2 çarpı 5 eşittir 10, 3 çarpı 6 eşittir 18.
- Toplam: 4 artı 10 artı 18 eşittir 32.
- İsteğe bağlı büyüklükler: |u|, 14'nin kareköküne eşittir, |v|, kosinüs yoluyla bir açı için 77'nin kareköküne eşittir.
Bu 32 toplamı, bu vektörler için QuickCalculators üzerinde gösterilen fikstür sonucudur.
Bu yaygın hatadan kaçının
"Nokta çarpım, bileşen çarpımlarının bir vektörünü döndürür" adlı yanılgı, nokta çarpımı eleman bazında çarpma ile karıştırır. Eleman bazında çarpma [4, 10, 18] sonucunu verir, ancak iç çarpım bu değerleri 32 skaler olarak toplar. İşlem nokta çarpımı olduğunda daima toplamla bitirin.
Sıkça sorulan sorular
Nokta çarpımı nedir?
Bir nokta çarpım, iki eşit uzunluktaki vektörün karşılık gelen bileşen çarpımlarının toplamıdır ve bir skaler üretir. Aynı zamanda skaler çarpım olarak da adlandırılır. QuickCalculators girilen vektörler için her ürünü, ardından toplamı listeler.
[1,2,3] nokta [4,5,6] nedir?
[1, 2, 3] ve [4, 5, 6]'nin iç çarpımı 32'ye eşittir çünkü 4 artı 10 artı 18 eşittir 32. Aynı bileşen satırlarını ve toplamını görmek için bu bileşenleri buraya girin.
İki vektör arasındaki açıyı nasıl buluyorsunuz?
İki vektör arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teta eşittir (u nokta v) bölü (|u| çarpı |v|) kullanılır ve ardından ters kosinüs alınır. Her iki vektör de sıfırdan farklı olmalıdır. Sayfa, büyüklükler hesaplanırken bu açıyı bildirir.
Nokta çarpımı ne zaman sıfırdır?
Vektörlerin hiçbiri sıfır vektör olmadığı sürece, vektörler dik olduğunda nokta çarpım sıfırdır. Bileşenlerde toplanan ürünler sıfıra sıfırlanır. Bu test genellikle açık bir 90 derecelik açının hesaplanmasından daha hızlıdır.
Bir vektörün büyüklüğü nedir?
Bir vektörün büyüklüğü, karesi bileşenlerinin toplamının kareköküdür. Uzunluğu ölçer ve kosinüs açısı formülünün paydasında görünür. QuickCalculators açı çıkışı istendiğinde büyüklükleri gösterir.
Vektörlerin aynı sayıda bileşene ihtiyacı var mı?
Bu araçta tanımlı bir gerçek nokta çarpım için vektörlerin aynı sayıda bileşene ihtiyacı vardır. Uzunluk uyuşmazlığı, boyut mesajıyla hesaplamayı engeller. Yalnızca belirli bir kurs kuralı öyle söylediğinde dolgu yapın veya kısaltın; Buradaki varsayılan, bir eşleşme gerektirir.
Özet
QuickCalculators, eşleşen bileşenleri çarparak ve 32'ye eşit olan [4, 5, 6] ile noktalı [1, 2, 3]'de olduğu gibi bir skalere toplayarak iç çarpımı oluşturur. Büyüklükler, karelerin toplamının kareköklerini kullanır ve sıfırdan farklı vektörler için kosinüs açısı formülünü besler.
Sıfır nokta çarpımı dik vektörleri işaret eder. Bileşen bazında listeyle yetinmeyin; tanımlayıcı son adım, skaleri üreten toplamdır.