La Calculadora de permutaciones circulares cuenta el número de formas distintas de ordenar n objetos alrededor de un círculo, usando la fórmula (n − 1)!. Como rotar un arreglo circular produce el mismo diseño físico, se fija una posición como referencia antes de ordenar los objetos restantes.
Por qué los arreglos circulares dividen una rotación
Ordenar n objetos en línea recta produce n! órdenes distintos, pero un círculo no tiene punto de partida fijo, así que rotar cualquier arreglo circular un asiento produce el mismo diseño leído desde otra posición.
Fijar el asiento de un objeto elimina los duplicados rotacionales, dejando (n − 1) objetos restantes para ordenar en los otros asientos: (n − 1)! arreglos circulares distintos en total.
Resuelve un ejemplo de asientos
Sentar a 5 personas alrededor de una mesa redonda da (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 arreglos distintos.
Compara esto con sentar a las mismas 5 personas en fila, que da 5! = 120 arreglos; el conteo circular es exactamente una quinta parte del conteo lineal, porque cada una de las 5 rotaciones de un diseño circular se contaría de otro modo como un arreglo lineal separado.
Calcula permutaciones circulares como P(n − 1, n − 1)
La Calculadora de permutaciones circulares calcula (n − 1)! usando el mismo motor de permutaciones que las permutaciones ordinarias, introduciendo n − 1 tanto para el tamaño del conjunto como para el tamaño de la selección: P(n − 1, n − 1) = (n − 1)!.
Para 5 asientos, eso se convierte en P(4, 4) = 4! = 24, coincidiendo exactamente con la fórmula circular directa, pues seleccionar y ordenar las 4 personas restantes tras fijar el primer asiento es el mismo cálculo de cualquiera de las dos formas.
Distingue arreglos en sentido horario de los de imagen especular
La fórmula (n − 1)! trata los arreglos en sentido horario y antihorario del mismo grupo como distintos, lo que es estándar en problemas de asientos donde los vecinos de izquierda y derecha son significativamente diferentes. Algunos problemas circulares, como ordenar cuentas en una pulsera que se puede voltear, también dividen entre 2 para fusionar arreglos de imagen especular.
La Calculadora de permutaciones circulares usa el convenio de asientos, sin la división extra por volteo, pues voltear no es una simetría de un arreglo de asientos en una mesa.
Evita este error habitual
Aplicar la fórmula ordinaria de permutación n! a un arreglo circular sobrestima por un factor de n, pues cada rotación de un diseño válido se cuenta como un arreglo separado. Para 6 personas alrededor de una mesa, 6! da 720, pero el conteo circular correcto es (6 − 1)! = 5! = 120.
Fija un asiento como punto de referencia antes de contar para evitar esta sobrestimación.
Aplica permutaciones circulares a un grupo menor
Ordenar a 3 personas alrededor de una mesa redonda pequeña da (3 − 1)! = 2! = 2 arreglos distintos. Enumerarlos fijando el asiento de la persona A lo confirma directamente: con A fija, B y C pueden sentarse en orden "B luego C" o "C luego B" en sentido horario, dando exactamente 2 diseños.
Este caso pequeño es una comprobación manual útil antes de confiar en la fórmula con grupos mayores donde enumerar cada arreglo ya no es práctico.
Reconoce cuándo un problema es circular en lugar de lineal
La frase clave a vigilar es una descripción de objetos colocados alrededor de una forma cerrada, como "alrededor de una mesa," "en un anillo" o "en un círculo," en lugar de "en una fila" o "en un estante." Siempre que un arreglo descrito no tenga posición de inicio o fin distinguible, y rotar el diseño completo produzca algo indistinguible del original, aplica la fórmula circular (n − 1)! en lugar de la lineal n!.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de las permutaciones circulares?
La fórmula de las permutaciones circulares es (n − 1)!, donde n es el número de objetos ordenados alrededor de un círculo. Se trata una posición como fija para eliminar duplicados rotacionales.
¿De cuántas formas se pueden sentar 6 personas alrededor de una mesa redonda?
Seis personas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda de (6 − 1)! = 5! = 120 formas distintas, tras fijar el asiento de una persona como punto de referencia.
¿Por qué la fórmula de permutación circular es (n-1)! en lugar de n!?
La fórmula de permutación circular es (n − 1)! en lugar de n! porque rotar un arreglo circular produce el mismo diseño físico, así que las n rotaciones de cada arreglo lineal cuentan todas como un solo arreglo circular, dividiendo el conteo lineal de n! entre n.
¿La permutación circular tiene en cuenta voltear el arreglo?
La fórmula estándar de permutación circular (n − 1)! no tiene en cuenta voltear el arreglo; solo elimina duplicados rotacionales. Los problemas con una pulsera o collar que se puede dar la vuelta suelen dividir el resultado entre 2 como paso adicional.
¿De cuántas formas se pueden ordenar 4 llaves en un llavero?
Si no se permite voltear el llavero, 4 llaves se ordenan de (4 − 1)! = 3! = 6 formas distintas alrededor del anillo. Si se permite voltear, divide entre 2 para 3 arreglos distintos.
¿Cuál es la permutación circular de 1 o 2 objetos?
La permutación circular de 1 objeto es (1 − 1)! = 0! = 1, pues solo hay una forma de sentar un solo objeto. Dos objetos dan (2 − 1)! = 1! = 1, pues intercambiar los únicos dos asientos alrededor de un círculo de 2 asientos produce el mismo arreglo relativo.
¿De cuántas formas pueden sentarse 3 personas alrededor de una mesa?
Tres personas pueden sentarse alrededor de una mesa de (3 − 1)! = 2! = 2 formas distintas, tras fijar el asiento de una persona como punto de referencia para eliminar duplicados rotacionales.
¿Cómo se distingue un problema de arreglo circular de uno lineal?
Un problema de arreglo circular describe objetos colocados alrededor de una forma cerrada sin inicio ni fin fijos, usando frases como "alrededor de una mesa" o "en un anillo," mientras que un problema de arreglo lineal describe objetos colocados "en una fila" o "en un estante" con una primera y última posición claras.
Resumen
La Calculadora de permutaciones circulares aplica (n − 1)! para contar arreglos alrededor de un círculo, eliminando los duplicados rotacionales que un conteo plano de n! sobrestimaría. Sentar a 5 personas da 24 arreglos en lugar de 120, una quinta parte del total lineal.
Usa el motor ordinario de permutaciones con n − 1 en ambas ranuras, P(n − 1, n − 1), para calcular el mismo resultado.