Il calcolatore permutazioni circolari conta il numero di modi distinti per disporre n oggetti attorno a un cerchio, usando la formula (n − 1)!. Poiché ruotare una disposizione circolare produce lo stesso layout fisico, una posizione è fissata come riferimento prima di disporre gli oggetti rimanenti.
Perché le disposizioni circolari dividono per una rotazione
Disporre n oggetti in fila retta produce n! ordini distinti, ma un cerchio non ha punto di partenza fisso, quindi ruotare qualsiasi disposizione circolare di un posto produce lo stesso layout letto da posizione diversa.
Fissare il posto di un oggetto rimuove i duplicati rotazionali, lasciando (n − 1) oggetti rimanenti da disporre negli altri posti: (n − 1)! disposizioni circolari distinte totali.
Risolvi un esempio di posti a sedere
Sedere 5 persone attorno a un tavolo rotondo dà (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 disposizioni distinte.
Confronta con sedere le stesse 5 persone in fila, che dà 5! = 120 disposizioni; il conteggio circolare è esattamente un quinto di quello lineare, poiché ciascuna delle 5 rotazioni di un layout circolare sarebbe altrimenti contata come disposizione lineare separata.
Calcola permutazioni circolari come P(n − 1, n − 1)
Il calcolatore permutazioni circolari calcola (n − 1)! usando lo stesso motore permutazioni delle permutazioni ordinarie, inserendo n − 1 sia per dimensione pool sia per dimensione selezione: P(n − 1, n − 1) = (n − 1)!.
Per 5 posti, diventa P(4, 4) = 4! = 24, corrispondendo esattamente alla formula circolare diretta, poiché selezionare e disporre tutte e 4 le persone rimanenti dopo aver fissato il primo posto è lo stesso calcolo in entrambi i modi.
Distingui disposizioni orarie da quelle speculari
La formula (n − 1)! tratta disposizioni orarie e antiorarie dello stesso gruppo come distinte, che è standard per problemi di posti a sedere dove vicini sinistro e destro contano in modo significativo. Alcuni problemi circolari, come disporre perle su un braccialetto che può essere capovolto, dividono anche per 2 per unire disposizioni speculari.
Il calcolatore permutazioni circolari usa la convenzione dei posti a sedere, senza la divisione extra per capovolgimento, poiché capovolgere non è una simmetria di un arrangiamento attorno a un tavolo.
Evita questo errore comune
Applicare la formula permutazione ordinaria n! a una disposizione circolare sovraconta di un fattore n, poiché ogni rotazione di un layout valido viene contata come disposizione separata. Per 6 persone attorno a un tavolo, 6! dà 720, ma il conteggio circolare corretto è (6 − 1)! = 5! = 120.
Fissa un posto come punto di riferimento prima di contare per evitare questo sovraconteggio.
Applica permutazioni circolari a un gruppo più piccolo
Disporre 3 persone attorno a un tavolo rotondo piccolo dà (3 − 1)! = 2! = 2 disposizioni distinte. Elencarle fissando il posto della persona A lo conferma direttamente: con A fissata, B e C possono sedersi in ordine "B poi C" o "C poi B" andando in senso orario, dando esattamente 2 layout.
Questo caso piccolo è un controllo manuale utile prima di fidarsi della formula su gruppi più grandi dove elencare ogni disposizione non è più pratico.
Riconosci quando un problema è circolare piuttosto che lineare
La frase chiave da osservare è una descrizione di oggetti posti attorno a una forma chiusa, come "attorno a un tavolo", "su un anello" o "in cerchio", piuttosto che "in fila" o "su uno scaffale". Quando una disposizione descritta non ha posizione iniziale o finale distinguibile, e ruotare l'intero layout produce qualcosa indistinguibile dall'originale, si applica la formula circolare (n − 1)! invece del lineare n!.
Domande frequenti
Qual è la formula per permutazioni circolari?
La formula per permutazioni circolari è (n − 1)!, dove n è il numero di oggetti disposti attorno a un cerchio. Una posizione è trattata come fissa per rimuovere duplicati rotazionali.
In quanti modi 6 persone possono sedersi attorno a un tavolo rotondo?
Sei persone possono sedersi attorno a un tavolo rotondo in (6 − 1)! = 5! = 120 modi distinti, dopo aver fissato il posto di una persona come punto di riferimento.
Perché la formula permutazione circolare è (n-1)! invece di n!?
La formula permutazione circolare è (n − 1)! invece di n! perché ruotare una disposizione circolare produce lo stesso layout fisico, quindi le n rotazioni di ogni disposizione lineare contano tutte come una disposizione circolare, dividendo il conteggio lineare di n! per n.
La permutazione circolare tiene conto del capovolgimento?
La formula standard permutazione circolare (n − 1)! non tiene conto del capovolgimento; rimuove solo duplicati rotazionali. Problemi con braccialetto o collana che può essere capovolto di solito dividono il risultato per 2 come passo aggiuntivo.
In quanti modi 4 chiavi possono essere disposte su un portachiavi?
Se capovolgere il portachiavi non è permesso, 4 chiavi si dispongono in (4 − 1)! = 3! = 6 modi distinti attorno all'anello. Se il capovolgimento è permesso, dividi per 2 per 3 disposizioni distinte.
Qual è la permutazione circolare di 1 o 2 oggetti?
La permutazione circolare di 1 oggetto è (1 − 1)! = 0! = 1, poiché c'è un solo modo per sedere un singolo oggetto. Due oggetti danno (2 − 1)! = 1! = 1, poiché scambiare gli unici due posti attorno a un cerchio a 2 posti produce lo stesso arrangiamento relativo.
In quanti modi 3 persone possono sedersi attorno a un tavolo?
Tre persone possono sedersi attorno a un tavolo in (3 − 1)! = 2! = 2 modi distinti, dopo aver fissato il posto di una persona come punto di riferimento per rimuovere duplicati rotazionali.
Come si distingue un problema circolare da uno lineare?
Un problema di disposizione circolare descrive oggetti posti attorno a forma chiusa senza inizio o fine fissi, usando frasi come "attorno a un tavolo" o "su un anello", mentre un problema lineare descrive oggetti posti "in fila" o "su uno scaffale" con prima e ultima posizione chiare.
Riepilogo
Il calcolatore permutazioni circolari applica (n − 1)! per contare disposizioni attorno a un cerchio, rimuovendo i duplicati rotazionali che un conteggio n! semplice sovracontarebbe. Sedere 5 persone dà 24 disposizioni invece di 120, un quinto del totale lineare.
Usa il motore permutazioni ordinario con n − 1 in entrambi gli slot, P(n − 1, n − 1), per calcolare lo stesso risultato.