حاسبة التباديل الدائرية تحسب عدد الطرق المميزة لترتيب عدد n من الكائنات حول دائرة، باستخدام الصيغة (n − 1)!. نظرًا لأن تدوير الترتيب الدائري ينتج عنه نفس التخطيط الفعلي، يتم تثبيت موضع واحد كمرجع قبل ترتيب الكائنات المتبقية.
لماذا تقسم الترتيبات الدائرية الدورة؟
ترتيب n من الأشياء في خط مستقيم ينتج n! ترتيبات مختلفة، لكن الدائرة ليس لها نقطة بداية ثابتة، لذا فإن تدوير أي ترتيب دائري بمقعد واحد ينتج عنه نفس التخطيط المقروء من موضع مختلف.
يؤدي تثبيت مقعد أحد العناصر إلى إزالة التكرارات الدورانية، مما يترك (n − 1) الكائنات المتبقية لترتيبها في المقاعد الأخرى: (n − 1)! مجموع الترتيبات الدائرية المتميزة.
العمل من خلال مثال الجلوس
جلوس 5 الأشخاص حول طاولة مستديرة يعطي (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ترتيبات متميزة.
قارن هذا بجلوس نفس 5 الأشخاص في صف واحد، مما يعطي 5! = 120 الترتيبات؛ العدد الدائري هو بالضبط خمس العدد الخطي، لأن كل دورة من دورات 5 للتخطيط الدائري سيتم احتسابها كترتيب خطي منفصل.
حساب التباديل الدائري مثل P(n − 1, n − 1)
حاسبة التباديل الدائرية تحسب (n - 1)! باستخدام نفس محرك التقليب مثل التباديل العادي، أدخل n - 1 لكل من حجم التجمع وحجم التحديد: P(n − 1, n − 1) = (n − 1)!.
بالنسبة للمقاعد 5، يصبح ذلك P(4، 4) = 4! = 24، مطابقة الصيغة الدائرية المباشرة تمامًا، نظرًا لأن اختيار وترتيب جميع الأشخاص 4 المتبقين بعد تثبيت المقعد الأول هو نفس الحساب في كلتا الحالتين.
التمييز في اتجاه عقارب الساعة من ترتيبات الصورة المرآة
الصيغة (ن - 1)! يتعامل مع الترتيبات في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة لنفس المجموعة على أنها متميزة، وهو أمر قياسي لمشاكل الجلوس حيث يكون الجيران الأيمن والأيسر مختلفين بشكل مفيد. بعض المشاكل الدائرية، مثل ترتيب الخرز على سوار يمكن قلبه، يتم أيضًا القسمة على 2 لدمج ترتيبات الصورة المعكوسة.
تستخدم حاسبة التباديل الدائرية طريقة الجلوس التقليدية، دون تقسيم الوجه الإضافي، نظرًا لأن التقليب ليس تماثلًا لترتيب مقاعد الطاولة.
تجنب هذا الخطأ الشائع
تطبيق صيغة التقليب العادية ن! إلى ترتيب دائري يتزايد بعامل n، حيث يتم احتساب كل دوران لتخطيط صالح كترتيب منفصل. لـ 6 أشخاص حول الطاولة، 6! يعطي 720، لكن العد الدائري الصحيح هو (6 − 1)! = 5! = 120.
قم بتثبيت مقعد واحد كنقطة مرجعية قبل العد لتجنب هذا العدد الزائد.
قم بتطبيق التباديل الدائري على مجموعة أصغر
ترتيب 3 الأشخاص حول طاولة مستديرة صغيرة يعطي (3 − 1)! = 2! = 2 ترتيبات متميزة. إن إدراجهم عن طريق تثبيت مقعد الشخص "أ" يؤكد ذلك بشكل مباشر: مع وجود "أ" ثابت، يمكن لـ "ب" و"ج" الجلوس إما بترتيب "ب ثم ج" أو "ج ثم ب" في اتجاه عقارب الساعة، مما يعطي تخطيطات 2 بالضبط.
تعتبر هذه الحالة الصغيرة بمثابة فحص يدوي مفيد قبل الوثوق في الصيغة على مجموعات أكبر حيث لم يعد إدراج كل ترتيب عمليًا.
تعرف عندما تكون المشكلة دائرية وليست خطية
العبارة الأساسية التي يجب مراقبتها هي وصف الأشياء الموضوعة حول شكل مغلق، مثل "حول طاولة" أو "على حلقة" أو "في دائرة" بدلاً من "في صف" أو "على رف". عندما لا يكون للترتيب الموصوف موضع بداية أو نهاية مميز، وينتج عن تدوير المخطط بأكمله شيئًا لا يمكن تمييزه عن الأصل، وهي الصيغة الدائرية (n − 1)! ينطبق بدلاً من الخطي n !.
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة التباديل الدائرية؟
صيغة التباديل الدائري هي (n − 1)! حيث n هو عدد الكائنات المرتبة حول دائرة. يتم التعامل مع موضع واحد على أنه ثابت لإزالة التكرارات الدورانية.
بكم طريقة يمكن لأشخاص 6 أن يجلسوا حول طاولة مستديرة؟
يمكن أن يجلس ستة أشخاص حول طاولة مستديرة في (6 − 1)! = 5! = 120 طرق مميزة، بعد تثبيت مقعد شخص واحد كنقطة مرجعية.
لماذا صيغة التقليب الدائري (n-1)! بدلا من ن !؟
صيغة التقليب الدائري هي (n − 1)! بدلا من ن! لأن تدوير ترتيب دائري ينتج نفس التخطيط المادي، لذلك يتم احتساب الدورات n لكل ترتيب خطي كترتيب دائري واحد، بتقسيم العدد الخطي لـ n! بواسطة ن.
هل التقليب الدائري هو سبب قلب الترتيب؟
صيغة التقليب الدائري القياسية (n − 1)! لا يأخذ في الاعتبار قلب الترتيب؛ فهو يزيل التكرارات التناوبية فقط. عادةً ما تقسم المشكلات التي تنطوي على سوار أو قلادة يمكن قلبها النتيجة على 2 كخطوة إضافية.
بكم طريقة يمكن ترتيب مفاتيح 4 على حلقة المفاتيح؟
إذا كان قلب حلقة المفاتيح غير مسموح به، فسيتم ترتيب مفاتيح 4 في (4 − 1)! = 3! = 6 طرق مميزة حول الحلبة. إذا كان التقليب مسموحًا به، اقسم على 2 للحصول على 3 ترتيبات مميزة.
ما هو التقليب الدائري للكائنات 1 أو 2؟
التقليب الدائري للكائن 1 هو (1 − 1)! = 0! = 1، نظرًا لوجود طريقة واحدة فقط لوضع جسم واحد في مكانه. كائنان يعطيان (2 − 1)! = 1! = 1، نظرًا لأن تبديل المقعدين الوحيدين حول دائرة مقعد 2 ينتج عنه نفس الترتيب النسبي.
بكم طريقة يمكن لأشخاص 3 الجلوس حول طاولة؟
يمكن لثلاثة أشخاص الجلوس حول طاولة في (3 − 1)! = 2! = 2 طرق مميزة، بعد تثبيت مقعد شخص واحد كنقطة مرجعية لإزالة التكرارات الدورانية.
كيف يمكنك التمييز بين مشكلة الترتيب الدائري وبصرف النظر عن المشكلة الخطية؟
تصف مشكلة الترتيب الدائري الكائنات الموضوعة حول شكل مغلق بدون بداية أو نهاية ثابتة، باستخدام عبارات مثل "حول طاولة" أو "على حلقة"، بينما تصف مشكلة الترتيب الخطي الكائنات الموضوعة "في صف" أو "على رف" مع موضع أول وأخير واضح.
ملخص
تنطبق حاسبة التباديل الدائرية (n − 1)! لحساب الترتيبات حول دائرة، وإزالة التكرارات التناوبية التي يكون فيها n عاديًا! سوف يبالغ في العد. مقاعد 5 أشخاص تعطي ترتيبات 24 بدلاً من 120، خمس المجموع الخطي.
استخدم محرك التقليب العادي مع n − 1 في كلا الفتحتين، P(n − 1, n − 1)، لحساب نفس النتيجة.