la calculatrice de permutations circulaires compte le nombre de façons distinctes d’organiser n objets autour d’un cercle, en utilisant la formule (n − 1)!. Comme la rotation d’un agencement circulaire produit la même disposition physique, une position est fixée comme référence avant que les objets restants ne soient disposés.
Pourquoi les arrangements circulaires divisent-ils une rotation
Disposer n objets en ligne droite produit n! des ordres distincts, mais un cercle n’a pas de point de départ fixe, donc faire tourner une disposition circulaire d’un seul siège produit la même disposition lue depuis une position différente.
Fixer le siège d’un objet supprime les doublons rotatifs, laissant (n − 1) objets restants à disposer dans les autres sièges: (n − 1)! des arrangements circulaires totalement distincts.
Travaillez un exemple de position assise
Asseoir 5 personnes autour d’une table ronde donne (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 arrangements distincts.
Comparez cela à asseoir les mêmes 5 personnes d’affilée, ce qui donne 5! = 120 arrangements; Le décompte circulaire représente exactement un cinquième du décompte linéaire, car chacune des 5 rotations d’une disposition circulaire serait autrement comptée comme une disposition linéaire distincte.
Calculer les permutations circulaires comme P(n − 1, n − 1)
la calculatrice de permutations circulaires calcule (n − 1)! en utilisant le même moteur de permutations que les permutations ordinaires, en entrant n − 1 pour la taille du pool et la taille de sélection: P(n − 1, n − 1) = (n − 1)!.
Pour 5 sièges, cela devient P(4, 4) = 4! = 24, correspondant exactement à la formule circulaire directe, puisque sélectionner et disposer les 4 personnes restantes après avoir fixé le premier siège est le même calcul dans un sens ou dans l’autre.
Distinguer le sens horaire des arrangements en miroir
La formule (n − 1)! considère les arrangements dans le sens horaire et antihoraire du même groupe comme distincts, ce qui est standard pour les problèmes d’assise où les voisins gauche et droit sont significativement différents. Certains problèmes circulaires, comme l’arrangement de perles sur un bracelet pouvant être retournées, divisent aussi par 2 pour fusionner des agencements en miroir.
la calculatrice de permutations circulaires utilise la convention de sièges, sans la division supplémentaire de basculement, puisque le flipping n’est pas une symétrie de la disposition des places d’une table.
Éviter cette erreur courante
En appliquant la formule de permutation ordinaire n! à une disposition circulaire surcompte par un facteur n, puisque chaque rotation d’une disposition valide est comptée comme une disposition distincte. Pour 6 personnes autour d’une table, 6! donne 720, mais le bon comptage circulaire est (6 − 1)! = 5! = 120.
Fixez un siège comme point de référence avant de compter pour éviter ce surcomptage.
Appliquez des permutations circulaires à un groupe plus petit
Disposer 3 personnes autour d’une petite table ronde donne (3 − 1)! = 2! = 2 arrangements distincts. Les lister par fixation du siège de la personne A le confirme directement: avec A fixé, B et C peuvent s’asseoir dans l’ordre « B puis C » ou « C puis B » dans le sens horaire, donnant exactement 2 configurations.
Ce petit cas est un bon contrôle manuel avant de faire confiance à la formule sur des groupes plus grands où lister chaque arrangement n’est plus pratique.
Reconnaître quand un problème est circulaire plutôt que linéaire
La phrase clé à surveiller est une description d’objets placés autour d’une forme fermée, comme « autour d’une table », « sur un anneau » ou « en cercle », plutôt que « en rangée » ou « sur une étagère ». Chaque fois qu’une disposition décrite n’a pas de position de départ ou de fin distincte, et que la rotation complète de la disposition produit quelque chose d’indiscernable de l’original, la formule circulaire (n − 1)! s’applique à la place du n linéaire!.
Questions fréquentes
Quelle est la formule des permutations circulaires?
La formule des permutations circulaires est (n − 1)!, où n est le nombre d’objets disposés autour d’un cercle. Une position est considérée comme fixe afin d’éliminer les doublons rotatifs.
Combien de façons 6 personnes peuvent-elles s’asseoir autour d’une table ronde?
Six personnes peuvent être assises autour d’une table ronde dans (6 − 1)! = 5! = 120 façons distinctes, après avoir fixé le siège d’une personne comme point de référence.
Pourquoi la formule de permutation circulaire (n-1)? au lieu de n!?
La formule de permutation circulaire est (n − 1)! au lieu de n! Parce que faire tourner un agencement circulaire produit la même disposition physique, donc les n rotations de chaque arrangement linéaire comptent toutes comme un seul arrangement circulaire, divisant le nombre linéaire de n! par n.
La permutation circulaire prend-elle en compte le fait de retourner l’arrangement?
La formule de permutation circulaire standard (n − 1)! ne prend pas en compte le fait de retourner l’arrangement; cela ne supprime que les doublons rotationnels. Les problèmes liés à un bracelet ou un collier pouvant être retourné divisent généralement le résultat par deux en étape supplémentaire.
Combien de façons peuvent disposer 4 clés sur un porte-clés?
Si retourner le porte-clés n’est pas autorisé, 4 touches alignez-vous (4 − 1)! = 3! = 6 chemins distincts autour de l’anneau. Si le retournement est autorisé, divisez par 2 pour 3 arrangements distincts.
Qu’est-ce que la permutation circulaire d’un ou de deux objets?
La permutation circulaire d’un objet est (1 − 1)! = 0! = 1, puisqu’il n’y a qu’une seule façon de placer un seul objet. Deux objets donnent (2 − 1)! = 1! = 1, car l’échange des deux seules places autour d’un cercle à 2 sièges produit la même disposition relative.
Combien de façons 3 personnes peuvent-elles s’asseoir autour d’une table?
Trois personnes peuvent s’asseoir autour d’une table en (3 − 1)! = 2! = 2 façons distinctes, après avoir fixé le siège d’une personne comme point de référence pour supprimer les doublons de rotation.
Comment distinguer un problème d’agencement circulaire d’un problème linéaire?
Un problème d’arrangement circulaire décrit des objets placés autour d’une forme fermée sans début ni fin fixes, en utilisant des expressions comme « autour d’une table » ou « sur un anneau », tandis qu’un problème d’agencement linéaire décrit des objets placés « en rangée » ou « sur une étagère » avec une première et une dernière position claires.
Résumé
la calculatrice de permutations circulaires s’applique (n − 1)! pour compter les arrangements autour d’un cercle, en supprimant les doublons rotationnels qu’un n simple! compter serait trop important. Accueillir 5 personnes permet de disposer 24 places au lieu de 120, soit un cinquième du total linéaire.
Utilisez le moteur de permutation ordinaire avec n − 1 dans les deux emplacements, P(n − 1, n − 1), pour calculer le même résultat.