Cirkulär permutationskalkylator räknar antalet distinkta sätt att arrangera n objekt runt en cirkel, med formeln (n − 1)!. Eftersom att rotera ett cirkulärt arrangemang ger samma fysiska layout, fixeras en position som referens innan de återstående objekten arrangeras.
Varför cirkulära arrangemang dividerar bort en rotation
Att arrangera n objekt i en rak linje ger n! distinkta ordningar, men en cirkel har ingen fast startpunkt, så att rotera vilket cirkulärt arrangemang som helst ett säte ger samma layout läst från en annan position.
Att fixera ett objekts plats tar bort de rotationella dubbletterna och lämnar (n − 1) återstående objekt att arrangera i de andra sätena: (n − 1)! totala distinkta cirkulära arrangemang.
Räkna igenom ett sittplatsexempel
Att placera 5 personer runt ett runt bord ger (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 distinkta arrangemang.
Jämför detta med att placera samma 5 personer i en rad, vilket ger 5! = 120 arrangemang; det cirkulära antalet är exakt en femtedel av det linjära antalet, eftersom var och en av de 5 rotationerna av en cirkulär layout annars skulle räknas som ett separat linjärt arrangemang.
Beräkna cirkulära permutationer som P(n − 1, n − 1)
Cirkulär permutationskalkylator beräknar (n − 1)! med samma permutationsmotor som vanliga permutationer, genom att ange n − 1 för både poolstorlek och urvalsstorlek: P(n − 1, n − 1) = (n − 1)!.
För 5 säten blir det P(4, 4) = 4! = 24, vilket matchar den direkta cirkulära formeln exakt, eftersom att välja och arrangera alla 4 återstående personer efter att ha fixerat det första sätet är samma beräkning endera vägen.
Skilj medurs från spegelvända arrangemang
Formeln (n − 1)! behandlar medurs- och motursarrangemang av samma grupp som distinkta, vilket är standard för sittplatsproblem där vänster och höger grannar är meningsfullt olika. Vissa cirkulära problem, till exempel att arrangera pärlor på ett armband som kan vändas, dividerar också med 2 för att slå ihop spegelvända arrangemang.
Cirkulär permutationskalkylator använder sittplatskonventionen, utan den extra vändningsdivisionen, eftersom vändning inte är en symmetri hos ett bordsarrangemang.
Undvik det här vanliga misstaget
Att tillämpa den vanliga permutationsformeln n! på ett cirkulärt arrangemang överräknar med en faktor n, eftersom varje rotation av en giltig layout räknas som ett separat arrangemang. För 6 personer runt ett bord ger 6! 720, men det korrekta cirkulära antalet är (6 − 1)! = 5! = 120.
Fixera ett säte som referenspunkt innan du räknar för att undvika denna överräkning.
Tillämpa cirkulära permutationer på en mindre grupp
Att arrangera 3 personer runt ett litet runt bord ger (3 − 1)! = 2! = 2 distinkta arrangemang. Att lista dem genom att fixera person A:s plats bekräftar detta direkt: med A fixerad kan B och C sitta i antingen ordningen "B sedan C" eller "C sedan B" medurs, vilket ger exakt 2 layouter.
Detta lilla fall är en användbar handkontroll innan man litar på formeln för större grupper där det inte längre är praktiskt att lista varje arrangemang.
Känn igen när ett problem är cirkulärt snarare än linjärt
Nyckelfrasen att bevaka är en beskrivning av objekt placerade runt en sluten form, till exempel "runt ett bord," "på en ring" eller "i en cirkel," snarare än "i en rad" eller "på en hylla." När ett beskrivet arrangemang saknar urskiljbar start- eller slutposition, och att rotera hela layouten ger något oskiljbart från det ursprungliga, gäller den cirkulära formeln (n − 1)! i stället för den linjära n!.
Vanliga frågor
Vad är formeln för cirkulära permutationer?
Formeln för cirkulära permutationer är (n − 1)!, där n är antalet objekt arrangerade runt en cirkel. En position behandlas som fixerad för att ta bort rotationella dubbletter.
På hur många sätt kan 6 personer sitta runt ett runt bord?
Sex personer kan sitta runt ett runt bord på (6 − 1)! = 5! = 120 distinkta sätt, efter att en persons plats fixeras som referenspunkt.
Varför är formeln för cirkulär permutation (n-1)! i stället för n!?
Formeln för cirkulär permutation är (n − 1)! i stället för n! eftersom att rotera ett cirkulärt arrangemang ger samma fysiska layout, så de n rotationerna av varje linjärt arrangemang räknas alla som ett cirkulärt arrangemang, vilket dividerar det linjära antalet n! med n.
Tar cirkulär permutation hänsyn till att vända arrangemanget?
Standardformeln för cirkulär permutation (n − 1)! tar inte hänsyn till att vända arrangemanget; den tar bara bort rotationella dubbletter. Problem med ett armband eller halsband som kan vändas dividerar typiskt resultatet med 2 som ett ytterligare steg.
På hur många sätt kan 4 nycklar arrangeras på en nyckelring?
Om att vända nyckelringen inte tillåts arrangeras 4 nycklar på (4 − 1)! = 3! = 6 distinkta sätt runt ringen. Om vändning tillåts, dividera med 2 för 3 distinkta arrangemang.
Vad är den cirkulära permutationen av 1 eller 2 objekt?
Den cirkulära permutationen av 1 objekt är (1 − 1)! = 0! = 1, eftersom det bara finns ett sätt att placera ett enda objekt. Två objekt ger (2 − 1)! = 1! = 1, eftersom att byta de enda två sätena runt en cirkel med 2 säten ger samma relativa arrangemang.
På hur många sätt kan 3 personer sitta runt ett bord?
Tre personer kan sitta runt ett bord på (3 − 1)! = 2! = 2 distinkta sätt, efter att en persons plats fixeras som referenspunkt för att ta bort rotationella dubbletter.
Hur skiljer man ett cirkulärt arrangemangsproblem från ett linjärt?
Ett cirkulärt arrangemangsproblem beskriver objekt placerade runt en sluten form utan fast start eller slut, med fraser som "runt ett bord" eller "på en ring," medan ett linjärt arrangemangsproblem beskriver objekt placerade "i en rad" eller "på en hylla" med en tydlig första och sista position.
Sammanfattning
Cirkulär permutationskalkylator tillämpar (n − 1)! för att räkna arrangemang runt en cirkel och tar bort de rotationella dubbletter som en vanlig n!-räkning skulle överräkna. Att placera 5 personer ger 24 arrangemang snarare än 120, en femtedel av den linjära totalen.
Använd den vanliga permutationsmotorn med n − 1 i båda fälten, P(n − 1, n − 1), för att beräkna samma resultat.