Circular Permutations Calculator は、式 (n − 1)! を使用して、円の周りに n 個のオブジェクトを配置する個別の方法の数を数えます。円形の配置を回転すると同じ物理的なレイアウトが生成されるため、残りのオブジェクトが配置される前に 1 つの位置が基準として固定されます。
円形配置が回転を分割する理由
n 個のオブジェクトを直線に配置すると、n! 個のオブジェクトが生成されます。異なる順序ですが、円には固定された開始点がないため、円形の配置を 1 座席分回転すると、異なる位置から読み取った同じレイアウトが生成されます。
1 つのオブジェクトの座席を固定すると、回転の重複が削除され、(n − 1) 個の残りのオブジェクトが残り、他の座席に配置されます: (n − 1)!完全に異なる円形の配置。
座り方の例を見てみる
円卓の周りに 5 人が座ると (5 − 1) になります。 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 異なるアレンジメント。
これを、同じ 5 人が並んで座っている場合と比較すると、5 になります。 = 120 手配;そうしないと、円形レイアウトの各 5 回転が別個の線形配置としてカウントされるため、円形カウントは線形カウントのちょうど 5 分の 1 になります。
円順列を P(n − 1, n − 1) として計算します。
循環順列計算機は (n − 1) を計算します!通常の置換と同じ置換エンジンを使用し、プール サイズと選択サイズの両方に n − 1 を入力します: P(n − 1, n − 1) = (n − 1)!。
5 席の場合、P(4, 4) = 4 となります。 = 24、最初の座席を固定した後に残ったすべての4を選択して配置することは、どちらの方法でも同じ計算であるため、直接循環式と正確に一致します。
時計回りと鏡像配置を区別する
式（n − 1）！は、同じグループの時計回りと反時計回りの配置を別のものとして扱います。これは、左右の隣が意味のあるように異なる座席の問題の標準です。裏返すことができるブレスレット上にビーズを配置するなどの一部の円形の問題も、2 で割って鏡像配置をマージします。
循環順列計算では、反転はテーブルの座席配置の対称ではないため、追加の反転分割を行わずに座席規則を使用します。
このよくある間違いを避けてください
通常の順列公式を適用すると n!有効なレイアウトの回転はすべて別個の配置としてカウントされるため、円形配置へのオーバーカウントは n 倍になります。テーブルを囲む6の人々には、6! 720 となりますが、正しい循環カウントは (6 − 1) です。 = 5! = 120。
この過剰カウントを避けるために、カウントする前に 1 つの座席を基準点として固定します。
循環順列をより小さなグループに適用する
3 人を小さな円卓の周りに配置すると (3 − 1) になります! = 2! = 2 独特のアレンジメント。人 A の座席を固定してリストすると、これが直接確認できます。A が固定されている場合、B と C は時計回りに「B、次に C」または「C、次に B」のいずれかの順序で座ることができ、正確に 2 のレイアウトが得られます。
この小さなケースは、すべての配置をリストすることがもはや現実的ではない大規模なグループで式を信頼する前に、手作業でチェックするのに役立ちます。
問題が直線的ではなく循環的であることを認識する
注意すべきキーワードは、「列に並んで」や「棚の上に」ではなく、「テーブルの周りに」、「リング上に」、または「円の中に」など、閉じた形状の周囲にオブジェクトが配置されているという記述です。記述された配置に識別可能な開始位置または終了位置がなく、レイアウト全体を回転すると元の配置と区別できないものが生成される場合は常に、循環式 (n − 1)!線形 n! の代わりに適用されます。
よくある質問
円順列の公式は何ですか?
円順列の公式は (n − 1)! で、n は円の周りに配置されたオブジェクトの数です。回転の重複を除去するために、1 つの位置が固定として扱われます。
6 の人々が円卓の周りに座る方法は何通りありますか?
(6 − 1) では丸テーブルを6人で囲むことができます！ = 5! = 120 個別の方法、1 人の座席を基準点として固定した後。
なぜ円順列公式(n-1)なのか！んの代わりに!?
円順列の公式は (n − 1) です!んの代わりに！円形配置を回転すると同じ物理的レイアウトが生成されるため、すべての線形配置の n 回の回転はすべて 1 つの円形配置としてカウントされ、線形配置の n を割ります。 nによる。
循環順列は配置をひっくり返す原因となるのでしょうか?
標準的な円順列公式 (n − 1)!配置をひっくり返すことは考慮されていません。回転重複を削除するだけです。ひっくり返すことができるブレスレットやネックレスに関する問題では、通常、追加のステップとして結果を 2 で割ります。
キーリング上で 4 キーを配置できる方法は何通りありますか?
キーリングの裏返しが許可されていない場合は、4 キーを (4 − 1) に配置します。 = 3! = 6 リングの周りの異なる方法。反転が許可されている場合は、2 で割って、3 の個別の配置を作成します。
1 または 2 オブジェクトの円順列は何ですか?
1 オブジェクトの円順列は (1 − 1) です! = 0! = 1、単一のオブジェクトを配置する方法は 1 つしかないためです。 2 つのオブジェクトは (2 − 1) を与えます! = 1! = 1、2 座席サークルの周囲の 2 つの座席のみを交換すると、同じ相対配置が生成されるためです。
3 の人々がテーブルの周りに座る方法は何通りありますか?
(3 − 1) はテーブルを3人で囲むことができます！ = 2! = 2 別の方法。1 人の座席を基準点として固定し、回転の重複を削除します。
円形の配置の問題と直線的な配置の問題をどのように区別しますか?
円形配置の問題は、「テーブルの周り」や「リング上」などの表現を使用して、開始点や終了点が固定されていない閉じた形状の周囲に配置されたオブジェクトを記述します。一方、線形配置問題は、最初と最後の位置が明確で「一列に」または「棚上」に配置されたオブジェクトを記述します。
まとめ
循環順列計算ツールが適用されます (n − 1)!円の周りの配置を数え、単純な n! の回転方向の重複を削除します。 count はオーバーカウントしてしまいます。座席 5 の座席数は、120 ではなく 24 の配置となり、線形合計の 5 分の 1 になります。
両方のスロットで n − 1 を使用した通常の置換エンジン P(n − 1, n − 1) を使用して、同じ結果を計算します。