Zirkulärer Permutationsrechner zählt die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, n Objekte um einen Kreis anzuordnen, mithilfe der Formel (n − 1)!. Da das Drehen einer kreisförmigen Anordnung das gleiche physische Layout erzeugt, wird eine Position als Referenz festgelegt, bevor die restlichen Objekte angeordnet werden.
Warum kreisförmige Anordnungen eine Rotation aufteilen
Das Anordnen von n Objekten in einer geraden Linie ergibt n! unterschiedliche Reihenfolgen, aber ein Kreis hat keinen festen Ausgangspunkt, sodass das Drehen einer kreisförmigen Anordnung um einen Sitz dieselbe Anordnung aus einer anderen Position erzeugt.
Das Fixieren eines Sitzes eines Objekts entfernt die rotierenden Duplikate, sodass (n − 1) verbleibende Objekte in den anderen Sitzen angeordnet werden: (n − 1)! völlig unterschiedliche kreisförmige Anordnungen.
Arbeite dich durch ein Sitzbeispiel
5 Personen um einen runden Tisch zu platzieren, gibt (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 verschiedene Anordnungen.
Vergleiche das damit, dass man dieselben 5 Personen hintereinander sitzt, was 5 ergibt! = 120 Arrangements; Die zirkuläre Zählung beträgt genau ein Fünftel der linearen Zahl, da jede der 5 Umdrehungen einer kreisförmigen Anordnung sonst als eigenständige lineare Anordnung gezählt würde.
Berechnen Sie zirkuläre Permutationen als P(n − 1, n − 1)
Zirkulärer Permutationsrechner berechnet (n − 1)! verwendet dieselbe Permutationsmaschine wie gewöhnliche Permutationen, wobei n − 1 sowohl für die Poolgröße als auch für die Selektionsgröße eingegeben wird: P(n − 1, n − 1) = (n − 1)!.
Für 5 Sitze ergibt sich P(4, 4) = 4! = 24, was genau der direkten Zirkularformel entspricht, da die Auswahl und Anordnung aller 4 verbleibenden Personen nach dem Fixieren des ersten Sitzes in beide Richtungen dieselbe Berechnung ist.
Unterscheide im Uhrzeigersinn von spiegelbildlichen Anordnungen
Die Formel (n − 1)! behandelt im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn angeordnete Anordnungen derselben Gruppe als unterschiedliche Gruppen, was bei Sitzproblemen Standard ist, bei denen linke und rechte Nachbarn wesentlich unterschiedlich sind. Einige kreisförmige Probleme, wie das Anlegen von Perlen auf einem Armband, das umgedreht werden kann, teilen sich ebenfalls durch 2, um spiegelbildliche Anordnungen zu verschmelzen.
Der Circular Permutations Calculator verwendet die Sitzkonvention, ohne die zusätzliche Flip-Division, da Flipping keine Symmetrie einer Tischanordnung ist.
Diesen häufigen Fehler vermeiden
Anwendung der gewöhnlichen Permutationsformel n! eine kreisförmige Anordnung überzählt um den Faktor n, da jede Rotation eines gültigen Layouts als separate Anordnung gezählt wird. Für 6 Personen um einen Tisch 6! ergibt 720, aber die korrekte Kreiszählung ist (6 − 1)! = 5! = 120.
Setzen Sie vor dem Zählen einen Sitz als Referenzpunkt fest, um diese Überzählung zu vermeiden.
Wenden Sie zirkuläre Permutationen auf eine kleinere Gruppe an
Wenn man drei Personen um einen kleinen runden Tisch stellt, gibt es (3 − 1)! = 2! = 2 verschiedene Anordnungen. Die Auflistung durch das Feststellen des Sitzes von Person A bestätigt dies direkt: Mit A fest können B und C entweder in der Reihenfolge "B dann C" oder "C dann B" im Uhrzeigersinn sitzen, was genau zwei Layouts ergibt.
Dieser kleine Fall ist eine nützliche Handkontrolle, bevor man der Formel bei größeren Gruppen vertraut, bei denen es nicht mehr praktikabel ist, jede Ordnung aufzulisten.
Erkennen Sie, wenn ein Problem zirkulär statt linear ist
Der Schlüsselbegriff, auf den man achten sollte, ist eine Beschreibung von Objekten, die um eine geschlossene Form gelegt werden, wie zum Beispiel "um einen Tisch", "auf einem Ring" oder "in einem Kreis", statt "in einer Reihe" oder "auf einem Regal". Immer wenn eine beschriebene Anordnung keine unterscheidbare Start- oder Endposition hat und das Drehen des gesamten Layouts etwas erzeugt, das nicht vom Original unterscheidbar ist, die Kreisformel (n − 1)! gilt anstelle des linearen n!.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Formel für zirkuläre Permutationen?
Die Formel für zirkuläre Permutationen ist (n − 1)!, wobei n die Anzahl der um einen Kreis angeordneten Objekte ist. Eine Position wird als fest behandelt, um rotatorische Duplikate zu entfernen.
Wie viele Arten können sechs Personen um einen runden Tisch herum sitzen?
Sechs Personen können um einen runden Tisch in (6 − 1) sitzen! = 5! = 120 verschiedene Wege, nachdem der Sitz einer Person als Bezugspunkt festgelegt wurde.
Warum ist die zirkuläre Permutationsformel (n-1)! Statt N!?
Die zirkuläre Permutationsformel ist (n − 1)! Statt N! Da das Drehen einer kreisförmigen Anordnung die gleiche physikalische Anordnung erzeugt, zählen die n Rotationen jeder linearen Anordnung alle als eine kreisförmige Anordnung, die die lineare Anzahl von n teilt! von N.
Erklärt die zirkuläre Permutation das Umdrehen der Anordnung?
Die übliche zirkuläre Permutationsformel (n − 1)! berücksichtigt das Umdrehen der Anordnung nicht; Es entfernt nur rotierende Duplikate. Probleme mit einem Armband oder einer Halskette, die umgedreht werden kann, teilen das Ergebnis in der Regel durch 2 als zusätzlichen Schritt.
Wie viele Arten können 4 Schlüssel an einem Schlüsselbund angeordnet werden?
Wenn das Umdrehen des Schlüsselrings nicht erlaubt ist, ordnen sich 4 Schlüssel in (4 − 1)! = 3! = 6 verschiedene Wege um den Ring herum. Wenn Flippen erlaubt ist, teile durch 2 für 3 verschiedene Anordnungen.
Was ist die zirkuläre Permutation von 1 oder 2 Objekten?
Die zirkuläre Permutation von 1 Objekt ist (1 − 1)! = 0! = 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, ein einzelnes Objekt zu platzieren. Zwei Objekte ergeben (2 − 1)! = 1! = 1, da das Vertauschen der nur zwei Sitze um einen Kreis mit zwei Sitzen dieselbe relative Anordnung erzeugt.
Wie viele Arten können drei Personen um einen Tisch sitzen?
Drei Personen können in (3 − 1) um einen Tisch sitzen! = 2! = 2 verschiedene Arten, nachdem der Sitz einer Person als Referenzpunkt festgesetzt wurde, um rotierende Duplikate zu entfernen.
Wie unterscheidet man ein Problem der kreisförmigen Anordnung von einem linearen?
Ein kreisförmiges Anordnungsproblem beschreibt Objekte, die um eine geschlossene Form ohne festen Anfang oder Ende platziert werden, wobei Begriffe wie "um einen Tisch" oder "auf einem Ring" verwendet werden, während ein Linearanordnungsproblem Objekte beschreibt, die "in einer Reihe" oder "auf einem Regal" mit klarer erster und letzter Position platziert sind.
Zusammenfassung
Der zirkuläre Permutationsrechner gilt (n − 1)! um Anordnungen um einen Kreis zu zählen und dabei die Rotationsduplikate zu entfernen, die ein einfaches N sind! Zählen würde zu viel zählen. Mit 5 Sitzplätzen gibt es 24 statt 120, also ein Fünftel der linearen Gesamtzahl.
Verwenden Sie die gewöhnliche Permutationsmaschine mit n − 1 in beiden Slots, P(n − 1, n − 1), um dasselbe Ergebnis zu berechnen.