Kalkulator permutacji kołowych liczy liczbę różnych sposobów ułożenia n obiektów wokół okręgu, używając wzoru (n − 1)!. Ponieważ obracanie układu kołowego daje ten sam układ fizyczny, jedna pozycja jest ustalana jako odniesienie przed ułożeniem pozostałych obiektów.
Dlaczego układy kołowe dzielą obrót
Układanie n obiektów w linii prostej daje n! różnych porządków, ale okrąg nie ma stałego punktu startowego, więc obrócenie dowolnego układu kołowego o jedno miejsce daje ten sam układ odczytany z innej pozycji.
Ustalenie miejsca jednego obiektu usuwa duplikaty obrotowe, pozostawiając (n − 1) pozostałe obiekty do ułożenia w pozostałych miejscach: (n − 1)! Całkowite odrębne układy kołowe.
Przejdź przez przykład z miejscami siedzenia
Siedzenie 5 ludzie wokół okrągłego stołu dają (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × ⟦UM7⟧ = ⟦UM8⟧ różne układy.
Porównaj to z ustawieniem tych samych 5 osób w rzędzie, co daje 5! = 120; liczba okręgowa to dokładnie jedna piąta liczby liniowej, ponieważ każdy z obrotów 5 układu kołowego byłby inaczej liczony jako osobny układ liniowy.
Oblicz permutacje kołowe jako P(n − 1, n − 1)
Kalkulator permutacji kołowych oblicza (n − 1)! używając tego samego silnika permutacyjnego co zwykłe permutacje, wpisując n − 1 zarówno dla wielkości puli, jak i rozmiaru wyboru: P(n − 1, n − 1) = (n − 1)!.
Dla 5 miejsc staje się to P(4, 4) = 4! = 24, dokładnie odpowiadając wzorowi na bezpośredni kołowy wzorzec, ponieważ wybór i uporządkowanie wszystkich pozostałych osób 4 po ustaleniu pierwszego miejsca to to samo obliczenie w obu przypadkach.
Rozróżnić układy zgodne z ruchem wskazówek zegara od lustrzanego odbicia
Wzór (n − 1)! traktuje układy tej samej grupy zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek jako odrębne, co jest standardem w problemach z siedzeniem, gdzie sąsiedzi po lewej i prawej stronie są znacząco różne. Niektóre problemy kołowe, takie jak układanie koralików na bransoletce, którą można odwrócić, dzielą się także przez 2, aby połączyć układy lustrzane.
Kalkulator Permutacji Kołowych wykorzystuje konwencję siedzenia, bez dodatkowego podziału flipów, ponieważ flipowanie nie jest symetrią układu stołów.
Unikaj tego typowego błędu
Zastosowanie zwykłej formuły permutacji n! do układu kołowego przelicza się o czynnik n, ponieważ każdy obrót poprawnego układu jest liczony jako osobny układ. Dla 6 osób przy stole, 6! daje 720, ale poprawna liczba kołowa to (6 − 1)! = 5! = 120.
Ustaw jedno miejsce jako punkt odniesienia przed liczeniem, aby uniknąć tego zawyżania liczenia.
Zastosuj permutacje kołowe do mniejszej grupy
Ustawienie 3 osób wokół małego okrągłego stołu daje (3 − 1)! = 2! = 2 różne układy. Wymienienie ich przez ustalenie miejsca osoby A potwierdza to bezpośrednio: przy stałym A B i C mogą siedzieć w kolejności "B potem C" lub "C potem B" zgodnie z ruchem wskazówek zegara, co daje dokładnie układ 2.
Ten mały przypadek jest przydatną kontrolą przed zaufaniem wzorowi w większych grupach, gdzie wymienianie każdego układu nie jest już praktyczne.
Rozpoznaj, kiedy problem jest kołowy, a nie liniowy
Kluczowym wyrażeniem, na które należy zwrócić uwagę, jest opis obiektów umieszczonych wokół zamkniętego kształtu, takich jak "wokół stołu", "na pierścieniu" lub "w okręgu", zamiast "w rzędzie" czy "na półce". Za każdym razem, gdy opisane ułożenie nie ma wyraźnej pozycji początkowej lub końcowej, a obrócenie całego układu daje coś nie do odróżnienia od oryginału, stosuje się okrągły wzór (n − 1)! zamiast liniowego n!.
Często zadawane pytania
Jaki jest wzór na permutacje kołowe?
Wzór na permutacje kołowe to (n − 1)!, gdzie n to liczba obiektów rozmieszczonych wokół okręgu. Jedna pozycja jest traktowana jako stała, aby usunąć duplikaty obrotowe.
Na ile sposobów można 6 zasiąść przy okrągłym stole?
Sześć osób może siedzieć wokół okrągłego stołu w (6 − 1)! = 5! = 120 w różnych miejscach, po ustaleniu miejsca jednej osoby jako punktu odniesienia.
Dlaczego formuła na permutację kołową (n-1)! zamiast n!?
Formuła permutacji kołowej to (n − 1)! zamiast n! ponieważ obrót układu kołowego daje ten sam układ fizyczny, więc n obrotów każdego układu liniowego liczy się jako jedno układanie kołowe, dzieląc liniową liczbę n! przez n.
Czy permutacja kołowa uwzględnia odwrócenie układu?
Standardowy wzór permutacji kołowej (n − 1)! nie uwzględnia odwrócenia układu; usuwa jedynie duplikaty obrotowe. Problemy związane z bransoletką lub naszyjnikiem, które można odwrócić, zazwyczaj dzielą wynik przez 2 jako dodatkowy krok.
Na ile sposobów można ułożyć klawisze 4 na breloczku?
Jeśli odwrócenie pęczka nie jest dozwolone, 4 klucze układają się w (4 − 1)! = 3! = 6 różne sposoby obejścia pierścienia. Jeśli odwracanie jest dozwolone, podziel przez 2 dla 3 różnych układów.
Czym jest permutacja kołowa obiektów 1 lub 2?
Permutacja kołowa 1 obiektu to (1 − 1)! = 0! = 1, ponieważ istnieje tylko jeden sposób osadzenia pojedynczego obiektu. Dwa obiekty dają (2 − 1)! = 1! = 1, ponieważ zamiana dwóch miejsc wokół 2 okręgu siedzącego daje ten sam układ względny.
Na ile sposobów ludzie mogą siedzieć przy stole?
Trzy osoby mogą siedzieć przy stole w (3 − 1)! = 2! = 2 w różnych sposóbach, po ustaleniu miejsca jednej osoby jako punktu odniesienia, aby usunąć rotacyjne duplikaty.
Jak odróżnić problem układu kołowego od liniowego?
Problem układu kołowego opisuje obiekty umieszczone wokół zamkniętego kształtu bez stałego początku czy końca, używając zwrotów takich jak "wokół stołu" czy "na pierścieniu", natomiast problem układu liniowego opisuje obiekty umieszczone "w rzędzie" lub "na półce" z wyraźną pierwszą i ostatnią pozycją.
Podsumowanie
Kalkulator permutacji kołowych stosuje (n − 1)! do liczenia układów wokół okręgu, usuwając rotacyjne duplikaty, które zwykłe n! liczenie przeliczałoby za wiele. Ustawienie 5 daje 24 układy zamiast 120, jednej piątej liniowej sumy.
Użyj zwykłego silnika permutacyjnego z n − 1 w obu slotach, P(n − 1, n − 1), aby obliczyć ten sam wynik.