la calculatrice de Fibonacci retourne le n-ième terme de la suite de Fibonacci et liste chaque terme jusqu’à celle-ci, construit à partir de la règle selon laquelle chaque terme est la somme des deux précédents. Entrez une position n entre 1 et 1000, et l’outil calcule ce terme exactement en utilisant l’arithmétique des entiers.
Appliquez la récurrence de Fibonacci
La suite de Fibonacci commence par deux 1, et chaque terme suivant est la somme des deux termes précédents: F(1) = 1, F(2) = 1, et F(n) = F(n−1) + F(n−2) pour n supérieur à 2.
Les premiers mandats sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. la calculatrice de Fibonacci construit la séquence exactement de cette manière en interne, calculant chaque terme à partir des deux précédents plutôt que d’utiliser une formule d’approximation.
Trouvez un terme spécifique
Pour trouver F(10), la calculatrice de Fibonacci construit la séquence jusqu’à la dixième position: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, et retourne 55 sous forme de F(10).
Parce que chaque terme ne dépend que des deux immédiatement précédés, calculer un terme unique nécessite toujours de générer la séquence complète jusqu’à ce point, ce que fait exactement la calculatrice en sous-vent.
Retrace la récurrence étape par étape
À partir de F(1) = 1 et F(2) = 1, chaque terme suivant est une seule addition: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2. F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.
F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5. F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8. Cette chaîne d’additions constitue toute la définition de la suite; aucune autre formule n’est nécessaire pour la générer terme par terme.
Reliez les nombres de Fibonacci au ratio d’or
À mesure que n grandit, le rapport des termes de Fibonacci consécutifs, F(n+1) divisé par F(n), tend vers le nombre d’or, environ 1,618033988749.... En vérifiant avec de petits termes: 55 divisé par 34 correspond à environ 1,6176, déjà proche du ratio d’or après seulement dix mandats.
Cette connexion est l’une des propriétés les plus citées de la suite, reliant une simple récurrence entière à une constante irrationnelle qui apparaît également en géométrie.
Comprendre les nombres de Fibonacci dans la nature et les problèmes de comptage
Les nombres de Fibonacci apparaissent dans des problèmes de comptage tels que le nombre de façons de tuiser une bande de 1x-n en utilisant des tuiles 1x-1 et 1-x2, ce qui suit exactement la récurrence de Fibonacci: pavage d’une bande de longueur n se termine soit par une seule tuile de 1x1, laissant une bande de longueur n−1 jusqu’à la tuile, soit se termine par une tuile de 1x2, laissant une bande de longueur n−2 jusqu’à la tuile.
Cette connexion de pavage confère à la récurrence abstraite une signification combinatoire concrète, au-delà de la célèbre histoire de la population de lapins souvent utilisée pour l’introduire.
Éviter cette erreur courante
Une erreur courante commence la séquence à F(0) = 0 sans ajuster l’indexation utilisée ailleurs dans un problème, ce qui conduit à un décalage d’un par rapport à une source commençant à F(1) = 1.
la calculatrice de Fibonacci utilise la convention F(1) = 1, F(2) = 1 tout au long, correspondant à la version la plus couramment enseignée; Confirmez quelle convention de départ un problème ou un manuel spécifique utilise avant de comparer directement les nombres de termes.
Calculer un terme de Fibonacci plus grand
La calculatrice de Fibonacci gère n jusqu’à 1000 en utilisant une arithmétique exacte en entiers plutôt qu’une formule qui pourrait perdre en précision. F(20) est 6 765, atteint en additionnant dix-huit paires consécutives à partir de 1, 1.
Pour des positions beaucoup plus grandes, comme F(100), le terme lui-même est un entier à 21 chiffres, bien trop grand pour être calculé de manière fiable avec la formule d’approximation du rapport d’or sans une manipulation soigneuse et haute précision; La méthode de la récurrence directe évite totalement ce problème en ne s’appuyant jamais sur un nombre irrationnel dans le calcul.
Comprendre pourquoi la récurrence nécessite deux valeurs de départ
La récurrence de Fibonacci F(n) = F(n−1) + F(n−2) ne peut générer aucun terme seul sans deux valeurs de départ, car calculer F(3) nécessite de déjà connaître F(2) et F(1).
C’est une caractéristique générale de toute relation de récurrence du second ordre: deux conditions initiales sont nécessaires pour fixer une séquence unique, de la même manière qu’une droite a besoin de deux points pour être entièrement déterminée.
Changer l’une ou l’autre des valeurs de départ produirait une séquence de récurrence complètement différente, bien que toujours valide.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la suite de Fibonacci?
La suite de Fibonacci est une liste de nombres où chaque terme après les deux premiers est égal à la somme des deux termes précédents, commençant par 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, et se poursuivant indéfiniment.
Quel est le dixième nombre de Fibonacci?
Le dixième nombre de Fibonacci est 55, obtenu en additionnant des paires consécutives de termes commençant par 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Comment le ratio d’or est-il lié aux nombres de Fibonacci?
Le ratio d’or est lié aux nombres de Fibonacci car le rapport des termes consécutifs, F(n+1) divisé par F(n), converge vers le ratio d’or, environ 1,618, à mesure que n grandit.
La suite de Fibonacci commence-t-elle à 0 ou 1?
La suite de Fibonacci est présentée selon différentes conventions de départ selon les sources; certains commencent par F(0) = 0 et F(1) = 1, tandis que ce calculatrice utilise F(1) = 1 et F(2) = 1, tous deux menant à la même séquence de valeurs décalée d’un indice.
Comment calculer un nombre de Fibonacci sans lister chaque terme?
Calculer un nombre de Fibonacci sans lister tous les termes antérieurs est possible en utilisant la formule de forme fermée de Binet impliquant le nombre d’or, mais cela nécessite un arrondi soigneux pour un grand n; la méthode de récurrence directe utilisée par la calculatrice de Fibonacci évite complètement l’erreur d’arrondi en construisant la séquence terme par terme.
À quoi servent les nombres de Fibonacci?
Les nombres de Fibonacci sont utilisés dans des problèmes de comptage tels que les casse-têtes de pavage et de montée d’escaliers, dans les algorithmes informatiques, et pour décrire certains schémas de croissance naturels, en plus de leur lien bien connu avec le nombre d’or.
Quel est le 20e nombre de Fibonacci?
Le 20e nombre de Fibonacci est 6 765, obtenu en poursuivant la somme des deux termes précédents de la récurrence dix-huit fois à partir de F(1) = 1 et F(2) = 1.
Pourquoi la récurrence de Fibonacci a-t-elle besoin de deux valeurs de départ au lieu d’une seule?
La récurrence de Fibonacci nécessite deux valeurs de départ car chaque terme dépend des deux termes immédiatement précédés, donc calculer déjà le troisième terme nécessite de connaître à l’avance les deux premiers termes.
Résumé
la calculatrice de Fibonacci calcule le n-ième terme de la suite F(n) = F(n−1) + F(n−2), en partant de F(1) = 1 et F(2) = 1, et liste chaque terme en cours de route.
Entrez n entre 1 et 1000 pour voir le terme exact et sa suite complète précédente, et notez comment le ratio des termes consécutifs s’approche du nombre d’or à mesure que n croît.