Fibonacci Kalkulator

Kalkulator Fibonacci mengembalikan sebutan ke-n bagi jujukan Fibonacci dan menyenaraikan setiap sebutan sehingganya, dibina daripada peraturan bahawa setiap sebutan ialah jumlah dua di hadapannya. Masukkan kedudukan n antara 1 dan 1000, dan alat mengira istilah itu dengan tepat menggunakan aritmetik integer.

Gunakan pengulangan Fibonacci

Urutan Fibonacci bermula dengan dua 1s, dan setiap sebutan selepas itu ialah hasil tambah dua sebutan sebelumnya: F(1) = 1, F(2) = 1, dan F(n) = F(n−⟦T4(n⟧)⟦ untuk n−⟦T4(n⟒)⟧)⟦ 2.

Beberapa istilah pertama ialah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 34, ⟦T8. Kalkulator Fibonacci membina jujukan dengan cara ini secara dalaman, mengira setiap sebutan daripada dua sebutan sebelum itu dan bukannya menggunakan formula anggaran.

Cari istilah tertentu

Untuk mencari F(10), Kalkulator Fibonacci membina jujukan sehingga kedudukan kesepuluh: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8, 8, 8, 8⟦ 34, 55, dan mengembalikan 55 sebagai F(10).

Oleh kerana setiap sebutan hanya bergantung pada dua sebutan sejurus sebelum itu, pengiraan mana-mana istilah tunggal masih memerlukan penjanaan urutan penuh sehingga ke tahap itu, iaitu apa yang dilakukan oleh kalkulator di bawah tudung.

Jejaki pengulangan langkah demi langkah

Bermula dari F(1) = 1 dan F(2) = 1, setiap sebutan berikutnya ialah penambahan tunggal: F(3) = F(2) + F(1) = 1) = 1) = 1) 2. F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.

F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5. F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8. Rantaian tambahan ini ialah keseluruhan definisi jujukan; tiada formula lain diperlukan untuk menjananya istilah demi istilah.

Sambungkan nombor Fibonacci kepada nisbah emas

Apabila n bertambah besar, nisbah sebutan Fibonacci berturut-turut, F(n+1) dibahagikan dengan F(n), menghampiri nisbah emas, lebih kurang 1.618033988749…. Menyemak dengan istilah kecil: 55 dibahagikan dengan 34 adalah lebih kurang 1.6176, sudah hampir dengan nisbah emas selepas hanya sepuluh sebutan.

Sambungan ini ialah salah satu sifat jujukan yang paling banyak disebut, menghubungkan pengulangan integer mudah kepada pemalar tidak rasional yang juga muncul dalam geometri.

Mengenal nombor Fibonacci dalam alam semula jadi dan masalah mengira

Nombor Fibonacci muncul dalam masalah pengiraan seperti bilangan cara untuk menjubinkan jalur 1-by-n menggunakan 1-by-1 dan 1-by-2 jubin, yang mengikuti pengulangan Fibonacci yang tepat: n sama ada menamatkan jalur dengan panjang. Jubin 1-by-1, meninggalkan jalur panjang n−1 ke jubin, atau berakhir dengan jubin 1-by-2, meninggalkan jalur panjang n−2 ke jubin.

Sambungan jubin ini memberikan pengulangan abstrak makna gabungan konkrit di luar cerita populasi arnab terkenal yang sering digunakan untuk memperkenalkannya.

Elakkan kesilapan biasa ini

Ralat biasa memulakan urutan pada F(0) = 0 tanpa melaraskan pengindeksan yang digunakan di tempat lain dalam masalah, membawa kepada ketidakpadanan satu demi satu terhadap sumber yang bermula pada F(1) = 1.

Kalkulator Fibonacci menggunakan konvensyen F(1) = 1, F(2) = 1 konvensyen sepanjang, memadankan versi yang paling biasa diajar; mengesahkan konvensyen permulaan yang digunakan oleh masalah atau buku teks tertentu sebelum membandingkan nombor istilah secara langsung.

Kira sebutan Fibonacci yang lebih besar

Kalkulator Fibonacci mengendalikan n sehingga 1000 menggunakan aritmetik integer tepat dan bukannya formula yang boleh kehilangan ketepatan. F(20) ialah 6,765, dicapai dengan menjumlahkan pasangan berturut-turut lapan belas kali bermula dari 1, 1.

Untuk kedudukan yang lebih besar, seperti F(100), istilah itu sendiri ialah integer 21-digit, terlalu besar untuk dikira dengan pasti menggunakan formula penghampiran nisbah emas tanpa pengendalian ketepatan tinggi yang teliti; kaedah berulang langsung mengelakkan isu ini sepenuhnya dengan tidak pernah bergantung pada nombor tidak rasional dalam pengiraan.

Fahami mengapa pengulangan memerlukan dua nilai permulaan

Ulangan Fibonacci F(n) = F(n−1) + F(n−2) tidak boleh menjana sebarang sebutan sendiri tanpa dua nilai permulaan, kerana pengiraan F(3) memerlukan sudah mengetahui kedua-dua F(2) dan F(1).

Ini adalah ciri umum bagi mana-mana hubungan ulangan tertib kedua: dua syarat awal diperlukan untuk menyematkan urutan unik, dengan cara yang sama garis lurus memerlukan dua titik untuk ditentukan sepenuhnya.

Menukar sama ada nilai permulaan akan menghasilkan urutan ulangan yang berbeza, walaupun masih sah.

Soalan lazim

Ringkasan

Kalkulator Fibonacci mengira sebutan ke-n bagi jujukan F(n) = F(n−1) + F(n−2), bermula dari F(1) = 1 dan F(2)⟧, sepanjang senarai.

Masukkan n antara 1 dan 1000 untuk melihat sebutan tepat dan jujukan penuh sebelumnya, dan perhatikan bagaimana nisbah sebutan berturut-turut menghampiri nisbah emas apabila n bertambah.