フィボナッチ計算機は、フィボナッチ数列の n 番目の項を返し、それまでのすべての項をリストします。これは、各項がその前の 2 つの項の合計であるというルールに基づいて構築されます。 1 と 1000 の間に位置 n を入力すると、ツールは整数演算を使用してその項を正確に計算します。
フィボナッチ回帰を適用する
フィボナッチ数列は 2 つの 1 で始まり、その後の各項は前の 2 つの項の合計です: F(1) = 1、F(2) = 1、および F(n) = F(n−1) + F(n−2) (n より大きい場合) 2。
最初のいくつかの用語は、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55です。フィボナッチ計算機は、内部的にこの方法でシーケンスを構築し、近似式を使用するのではなく、その前の 2 つの項から各項を計算します。
特定の用語を検索する
F(10) を見つけるために、フィボナッチ電卓は 10 番目の位置までの数列を構築します: 1、1、2、3、5、8、13、 21、34、55、55 を F(10) として返します。
各項はその直前の 2 つの項にのみ依存するため、単一の項を計算するには、その時点までの完全なシーケンスを生成する必要があり、これはまさに計算機が内部で行うことです。
再発を段階的に追跡する
F(1) = 1 および F(2) = 1 から始まり、後続の各項は単一の加算です: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2。 F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3。
F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5。 F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8。この追加の連鎖がシーケンスの定義全体になります。用語ごとに生成するために他の式は必要ありません。
フィボナッチ数を黄金比に結び付ける
n が大きくなるにつれて、連続するフィボナッチ項の比率 F(n+1) を F(n) で割った値は、黄金比 (およそ 1.618033988749…) に近づきます。小さな項で確認すると、55 を 34 で割ると、およそ 1.6176 となり、わずか 10 項ですでに黄金比に近くなります。
この関係は、数列の最もよく引用される特性の 1 つであり、単純な整数の反復を、幾何学にも現れる無理定数に結び付けます。
フィボナッチ数の本質と計数問題を認識する
フィボナッチ数は、1-by-1 および 1-by-2 のタイルを使用して 1 行 n 列のストリップをタイル化する方法の数などの計数問題で使用されます。これは正確なフィボナッチ再帰に従います。長さ n のストリップをタイル化する場合は、どちらかが単一で終わります。 1×1 タイルで、長さ n−1 のストリップをタイル化するか、1×2 タイルで終わり、長さ n−2 のストリップをタイル化します。
このタイリング接続は、抽象的な反復に、それを紹介するためによく使われる有名なウサギと個体群の物語を超えた具体的な組み合わせの意味を与えます。
このよくある間違いを避けてください
一般的なエラーは、問題の他の場所で使用されているインデックスを調整せずに F(0) = 0 でシーケンスを開始し、F(1) = 1 で始まるソースに対して 1 つずつずれた不一致を引き起こします。
フィボナッチ計算機は、F(1) = 1、F(2) = 1 の規則を使用し、最も一般的に教えられるバージョンと一致します。用語番号を直接比較する前に、特定の問題または教科書でどの開始規則が使用されているかを確認してください。
より大きなフィボナッチ項を計算する
フィボナッチ計算機は、精度を失う可能性のある式ではなく、正確な整数演算を使用して、1000 までの n を処理します。 F(20) は 6、765 で、1、1 から始まる連続するペアを 18 回合計することで到達します。
F(100) などのはるかに大きな位置の場合、項自体は 21 桁の整数であり、注意して高精度に処理しないと黄金比近似式を使用して確実に計算するには大きすぎます。直接漸化法では、計算で無理数に決して依存しないため、この問題が完全に回避されます。
繰り返しに 2 つの開始値が必要な理由を理解する
フィボナッチ漸化式 F(n) = F(n−1) + F(n−2) は、F(3) を計算するには F(2) と F(1) の両方をすでに知っている必要があるため、2 つの開始値がなければそれ自体で項を生成することはできません。
これは、二次漸化関係の一般的な特徴です。直線を完全に決定するには 2 つの点が必要であるのと同じように、一意のシーケンスを特定するには 2 つの初期条件が必要です。
いずれかの開始値を変更すると、完全に異なる繰り返しシーケンスが生成されますが、依然として有効です。
よくある質問
フィボナッチ数列とは何ですか?
フィボナッチ数列は、最初の 2 つの後の各項がその前の 2 つの項の合計に等しい数値のリストであり、1、1、2、3、5、8、13 から始まり、無限に続きます。
10番目のフィボナッチ数とは何ですか?
10 番目のフィボナッチ数は 55 で、1、1、2、3、5、8、13、から始まる項の連続するペアを合計することで求められます。 21、34、55。
黄金比はフィボナッチ数とどのような関係があるのでしょうか?
黄金比はフィボナッチ数に関連しています。これは、連続項の比 F(n+1) を F(n) で割った値が、n が大きくなるにつれて黄金比 (約 1.618) に収束するためです。
フィボナッチ数列は 0 または 1 で始まりますか?
フィボナッチ数列は、さまざまなソースでさまざまな開始規則で表示されます。 F(0) = 0 および F(1) = 1 で始まるものもありますが、この計算機では F(1) = 1 および F(2) = 1 が使用され、どちらも 1 つシフトされた同じ値のシーケンスになります。インデックス。
すべての項をリストせずにフィボナッチ数を計算するにはどうすればよいでしょうか?
黄金比を含むビネーの閉形式を使用すると、前の項をすべてリストせずにフィボナッチ数を計算することができますが、大きな n については注意して丸める必要があります。フィボナッチ電卓で使用される直接漸化法では、項ごとにシーケンスを構築することで丸め誤差を完全に回避します。
フィボナッチ数は何に使われますか?
フィボナッチ数は、黄金比とのよく知られた関係に加えて、タイルや階段を登るパズルなどの計数問題、コンピューター サイエンスのアルゴリズム、特定の自然な成長パターンの説明にも使用されます。
20番目のフィボナッチ数とは何ですか?
20 番目のフィボナッチ数は 6,765 であり、F(1) = 1 および F(2) = 1 から始まる前の 2 項の和の漸化式を 18 回続けることによって求められます。
フィボナッチ漸化式ではなぜ 1 つではなく 2 つの開始値が必要なのでしょうか?
フィボナッチ漸化式には 2 つの開始値が必要です。これは、各項がその直前の 2 つの項に依存するためです。そのため、3 番目の項を計算するには、最初と 2 番目の項の両方が事前にわかっている必要があります。
まとめ
フィボナッチ計算機は、F(1) = 1 および F(2) = 1 から開始して、シーケンス F(n) = F(n−1) + F(n−2) の n 番目の項を計算し、途中のすべての項をリストします。
1 と 1000 の間に n を入力すると、正確な項とその完全な先行シーケンスが表示され、n が増加するにつれて連続する項の比率が黄金比にどのように近づくかに注目してください。