تقوم حاسبة فيبوناتشي بإرجاع الحد n من تسلسل فيبوناتشي وتسرد كل حد حتى ذلك الحد، المبني على القاعدة التي تنص على أن كل حد هو مجموع الحدين اللذين يسبقانه. أدخل موضع n بين 1 و1000، وتقوم الأداة بحساب هذا المصطلح بالضبط باستخدام حساب الأعداد الصحيحة.
تطبيق تكرار فيبوناتشي
يبدأ تسلسل فيبوناتشي باثنين 1s، وكل حد بعد ذلك هو مجموع الحدين السابقين: F(1) = 1، F(2) = 1، وF(n) = F(n−1) + F(n−2) لـ n أكبر من 2.
المصطلحات العديدة الأولى هي 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55. تقوم حاسبة فيبوناتشي ببناء التسلسل بهذه الطريقة تمامًا داخليًا، حيث تقوم بحساب كل حد من الحدين اللذين يسبقانه بدلاً من استخدام صيغة تقريبية.
ابحث عن مصطلح محدد
للعثور على F(10)، تقوم حاسبة فيبوناتشي بإنشاء التسلسل حتى الموضع العاشر: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، وإرجاع 55 كـ F(10).
نظرًا لأن كل حد يعتمد فقط على الحدين اللذين يسبقانه مباشرة، فإن حساب أي حد منفرد لا يزال يتطلب إنشاء التسلسل الكامل حتى تلك النقطة، وهو بالضبط ما تفعله الآلة الحاسبة تحت الغطاء.
تتبع التكرار خطوة بخطوة
بدءًا من F(1) = 1 وF(2) = 1، كل حد لاحق عبارة عن إضافة واحدة: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2. F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.
F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5. F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8. هذه السلسلة من الإضافات هي التعريف الكامل للتسلسل؛ ليست هناك حاجة إلى صيغة أخرى لتوليدها مصطلحًا تلو الآخر.
ربط أرقام فيبوناتشي بالنسبة الذهبية
مع نمو n بشكل كبير، فإن نسبة حدود فيبوناتشي المتتالية، F(n+1) مقسومة على F(n)، تقترب من النسبة الذهبية، تقريبًا 1.618033988749…. التحقق باستخدام الحدود الصغيرة: 55 مقسومًا على 34 يساوي تقريبًا 1.6176، وهو قريب بالفعل من النسبة الذهبية بعد عشرة حدود فقط.
يعد هذا الاتصال واحدًا من أكثر خصائص التسلسل المذكورة، حيث يربط تكرارًا صحيحًا بسيطًا بثابت غير منطقي يظهر أيضًا في الهندسة.
التعرف على أرقام فيبوناتشي في طبيعتها ومسائل العد
تظهر أرقام فيبوناتشي في مسائل العد مثل عدد طرق تجانب شريط 1-by-n باستخدام مربعات 1-by-1 و1-by-2، والذي يتبع تكرار فيبوناتشي الدقيق: تبليط شريط بطول n إما ينتهي في واحد بلاط 1-by-1، مع ترك شريط بطول n−1 للبلاط، أو ينتهي ببلاط 1-by-2، مع ترك شريط بطول n−2 للبلاط.
يعطي اتصال التبليط هذا للتكرار المجرد معنى اندماجيًا ملموسًا يتجاوز قصة سكان الأرانب الشهيرة التي غالبًا ما تستخدم لتقديمها.
تجنب هذا الخطأ الشائع
خطأ شائع يبدأ التسلسل عند F(0) = 0 دون ضبط الفهرسة المستخدمة في أي مكان آخر في المشكلة، مما يؤدي إلى عدم تطابق واحد تلو الآخر مع المصدر الذي يبدأ عند F(1) = 1.
تستخدم حاسبة فيبوناتشي الاصطلاح F(1) = 1، F(2) = 1 طوال الوقت، مما يتوافق مع الإصدار الأكثر شيوعًا؛ تأكد من اتفاقية البداية التي تستخدمها مشكلة معينة أو كتاب مدرسي قبل مقارنة أرقام المصطلحات مباشرة.
حساب حد فيبوناتشي أكبر
تتعامل حاسبة فيبوناتشي مع n حتى 1000 باستخدام حساب عدد صحيح دقيق بدلاً من صيغة قد تفقد الدقة. F(20) هو 6،765، يتم الوصول إليه عن طريق جمع أزواج متتالية ثمانية عشر مرة بدءًا من 1، 1.
بالنسبة للمواضع الأكبر بكثير، مثل F(100)، فإن المصطلح نفسه عبارة عن عدد صحيح مكون من 21، وهو كبير جدًا بحيث لا يمكن حسابه بشكل موثوق باستخدام صيغة تقريب النسبة الذهبية دون معالجة دقيقة عالية الدقة؛ تتجنب طريقة التكرار المباشر هذه المشكلة تمامًا من خلال عدم الاعتماد مطلقًا على رقم غير منطقي في الحساب.
افهم لماذا يحتاج التكرار إلى قيمتين مبدئيتين
تكرار فيبوناتشي F(n) = F(n−1) + F(n−2) لا يمكنه إنشاء أي مصطلحات من تلقاء نفسه دون قيمتين أساسيتين، نظرًا لأن حساب F(3) يتطلب معرفة كليهما بالفعل F(2) وF(1).
هذه سمة عامة لأي علاقة تكرارية من الدرجة الثانية: هناك حاجة إلى شرطين أوليين لتحديد تسلسل فريد، بنفس الطريقة التي يحتاج بها الخط المستقيم إلى نقطتين ليتم تحديده بالكامل.
سيؤدي تغيير أي من قيمتي البداية إلى إنتاج تسلسل تكرار مختلف تمامًا، رغم أنه لا يزال صالحًا.
الأسئلة الشائعة
ما هي تسلسل فيبوناتشي؟
تسلسل فيبوناتشي عبارة عن قائمة من الأرقام حيث كل حد بعد الأولين يساوي مجموع الحدين اللذين قبله، بدءًا من 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، ويستمر إلى ما لا نهاية.
ما هو رقم 10 رقم فيبوناتشي؟
رقم فيبوناتشي 10 هو 55، ويتم العثور عليه من خلال جمع أزواج متتالية من المصطلحات بدءًا من 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55.
ما علاقة النسبة الذهبية بأرقام فيبوناتشي؟
ترتبط النسبة الذهبية بأرقام فيبوناتشي لأن نسبة الحدود المتتالية، F(n+1) مقسومة على F(n)، تتقارب نحو النسبة الذهبية، تقريبًا 1.618، كلما زاد حجم n.
هل يبدأ تسلسل فيبوناتشي عند 0 أم 1؟
يتم تقديم تسلسل فيبوناتشي باتفاقيات بداية مختلفة في مصادر مختلفة؛ يبدأ البعض بـ F(0) = 0 وF(1) = 1، بينما تستخدم هذه الآلة الحاسبة F(1) = 1 وF(2) = 1، وكلاهما يؤدي إلى نفس تسلسل القيم المزاح بواسطة مؤشر واحد.
كيف يمكنك حساب رقم فيبوناتشي دون إدراج كل مصطلح؟
من الممكن حساب رقم فيبوناتشي دون إدراج كل حد سابق باستخدام صيغة Binet المغلقة التي تتضمن النسبة الذهبية، ولكنها تتطلب تقريبًا دقيقًا للعدد الكبير n؛ طريقة التكرار المباشر التي تستخدمها حاسبة فيبوناتشي تتجنب خطأ التقريب بالكامل عن طريق بناء حد التسلسل تلو الآخر.
ما هي أرقام فيبوناتشي المستخدمة؟
تُستخدم أرقام فيبوناتشي في مسائل العد مثل ألغاز التبليط وصعود السلالم، وفي خوارزميات علوم الكمبيوتر، وفي وصف بعض أنماط النمو الطبيعي، بالإضافة إلى ارتباطها المعروف بالنسبة الذهبية.
ما هو رقم 20 رقم فيبوناتشي؟
رقم فيبوناتشي 20 هو 6,765، ويتم العثور عليه من خلال تكرار مجموع الحدين السابقين ثمانية عشر مرة بدءًا من F(1) = 1 وF(2) = 1.
لماذا يحتاج تكرار فيبوناتشي إلى قيمتين ابتدائيتين بدلا من واحدة؟
يحتاج تكرار فيبوناتشي إلى قيمتين ابتدائيتين لأن كل حد يعتمد على الحدين اللذين يسبقانه مباشرة، لذا فإن حساب الحد الثالث يتطلب بالفعل معرفة الحدين الأول والثاني مسبقًا.
ملخص
حاسبة فيبوناتشي تحسب الحد n من التسلسل F(n) = F(n−1) + F(n−2)، بدءًا من F(1) = 1 وF(2) = 1، وتسرد كل حد على طول الطريق.
أدخل n بين 1 و1000 لترى الحد الدقيق وتسلسله السابق الكامل، ولاحظ كيف تقترب نسبة الحدود المتتالية من النسبة الذهبية مع نمو n.