QuickCalculators يقوم بتشغيل خوارزمية إقليدس على عددين صحيحين غير سالبين، ويطبع كل حاصل القسمة والباقي حتى يظهر GCF باعتباره آخر باقي غير صفري. أدخل الزوج في أي من الترتيبين؛ يعرض جدول الخطوات نموذج التقسيم بحيث يمكن فحص كل سطر يدويًا.
أوجد GCF بالقسمة المتكررة
تجد خوارزمية إقليدس العامل المشترك الأكبر عن طريق قسمة الرقم الأكبر على الأصغر واستبدال الأكبر بالباقي، ثم التكرار. عندما يظهر باقي الصفر، فإن المقسوم عليه من تلك الخطوة هو GCF. تسجل حاسبة خوارزمية إقليدس كل قسم بحيث تكون السلسلة قابلة للتدقيق.
بالنسبة إلى 816 و2260، ابدأ بـ 2260 ÷ 816. الحاصل هو 2 والباقي هو 628. بعد ذلك، 816 ÷ 628 يترك الباقي 188. استمر حتى يوقف الباقي صفر السلسلة. الباقي الأخير غير الصفري هو GCF للزوج الأصلي.
اقرأ جدول الخطوات
يسرد جدول الخطوات الأرباح والمقسوم عليه والحاصل والباقي لكل جولة. تُظهر قراءة العمود المتبقي في الأسفل تسلسل الانكماش الذي ينتهي عند الصفر. يقوم QuickCalculators بمحاذاة تلك الأعمدة حتى تتمكن نسخة دفتر الملاحظات من التحقق من أن a × b + r يساوي المقسوم السابق على كل صف.
رسم مضغوط لـ 48 و18:
| أرباح | المقسوم | حاصل القسمة | الباقي |
|---|---|---|---|
| 48 | 18 | 2 | 12 |
| 18 | 12 | 1 | 6 |
| 12 | 6 | 2 | 0 |
آخر ما تبقى غير الصفر هو 6، لذا GCF(48, 18) = 6.
تجنب هذا الخطأ الشائع
نموذج الطرح ونموذج القسمة هما نفس الخوارزمية. القسمة هي عملية طرح متكررة مضغوطة في حاصل واحد. يعاملهم الطلاب أحيانًا على أنهم طرق منافسة بإجابات مختلفة. كلاهما ينتهي عند نفس GCF عند تطبيقه بشكل صحيح. طرح 18 من 48 مرتين يصل إلى 12، وهو بالضبط ما يشفره الحاصل 2 في سطر واحد.
تفضيل القسمة يحفظ الكتابة دون تغيير المسار الرياضي الذي وصفه إقليدس.
افهم سبب إنهاء الخوارزمية دائمًا
كل باقي عبارة عن عدد صحيح غير سالب أصغر تمامًا من المقسوم عليه السابق، لذلك لا يمكن أن ينزل تسلسل الباقي إلى الأبد. يفرض النسب المحدود بقاء صفر بعد عدد لا نهائي من الخطوات. ينطبق هذا الضمان على جميع المدخلات الصحيحة غير السالبة التي تقبلها الصفحة.
تحتاج أزواج الحالات الأسوأ المتعلقة بأرقام فيبوناتشي إلى خطوات أكثر من الأمثلة النموذجية للفصول الدراسية، ومع ذلك لا تزال تنتهي. يزداد عدد الخطوات تقريبًا مع لوغاريتم المدخلات للأزواج العشوائية العادية، ولهذا السبب تقوم طريقة إقليدس بقياس عوامل القائمة السابقة.
الأسئلة الشائعة
ما هي خوارزمية إقليدس؟
خوارزمية إقليدس هي طريقة لإيجاد العامل المشترك الأكبر لعددين صحيحين غير سالبين عن طريق القسمة المتكررة مع الباقي. آخر ما تبقى غير الصفر هو GCF. تقوم الآلة الحاسبة بطباعة كل خطوة من خطوات القسمة.
كيف تجد خوارزمية إقليدس GCF؟
تعثر خوارزمية إقليدس على GCF عن طريق استبدال الرقم الأكبر بالباقي بعد القسمة على الرقم الأصغر، والتكرار حتى يصبح الباقي صفرًا. المقسوم عليه في الخطوة النهائية غير الصفرية هو GCF.
ما هو GCF من 816 و 2260؟
تم العثور على GCF من 816 و2260 عن طريق تشغيل خوارزمية إقليدس على هذا الزوج وقراءة آخر ما تبقى غير صفري من جدول الخطوات. أدخل كلا العددين الصحيحين في هذه الصفحة لرؤية كل حاصل القسمة والباقي بالترتيب.
لماذا تعمل خوارزمية إقليدس؟
تعمل خوارزمية إقليدس لأن أي قاسم مشترك لـ a وb هو أيضًا قاسم مشترك لـ b وa mod b. استبدال الزوج بالرقم الأصغر والباقي يحافظ على GCF حتى يصل الباقي إلى الصفر.
كم عدد الخطوات التي تتخذها خوارزمية إقليدس؟
يعتمد عدد الخطوات التي تتخذها خوارزمية إقليدس على المدخلات؛ كل باقي أصغر من المقسوم عليه السابق، وبالتالي فإن العملية محدودة. تحتاج الأزواج المشابهة لفيبوناتشي إلى خطوات أكثر من المتوسط، لكن أرقام الفصول الدراسية النموذجية تنتهي بسرعة.
ما الفرق بين صيغة الطرح والقسمة؟
تقوم صيغة الطرح بشكل متكرر بطرح الأصغر من الأكبر؛ نموذج القسمة يطرح بكميات كبيرة باستخدام حاصل القسمة. كلا النموذجين يحسبان نفس GCF. القسمة هي مجرد طرح متكرر مكتوب بشكل مضغوط.
ملخص
تعثر حاسبة خوارزمية إقليدس على GCF من خلال القسمة المتكررة وتظهر كل حاصل القسمة والباقي في جدول متدرج. أزواج مثل 48 و18 تنتهي عند الباقي 6، مطابقة GCF(48، 18). أشكال الطرح والقسمة هي نفس الخوارزمية عند مستويات مختلفة من الضغط. تتناقص البقايا بشكل صارم، لذا تنتهي العملية دائمًا بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة.