Narzędzie do rozwiązywania trójkątów prostokątnych znajduje każdy pozostały bok i kąt trójkąta prostokątnego na podstawie dowolnych dwóch znanych pomiarów: dwóch boków lub jednego boku i jednego kąta ostrego. Wprowadź to, co jest znane, a narzędzie zastosuje twierdzenie Pitagorasa lub stosunki trygonometryczne, w zależności od tego, który z nich pasuje, i wyświetli podstawione kroki.
Trójkąt prostokątny zawsze ma jeden kąt 90 stopni, co oznacza, że potrzebne są tylko dwa dalsze pomiary, aby ustalić cały kształt, o jeden mniej niż trzy pomiary wymagane w przypadku ogólnego trójkąta.
Znajdź przeciwprostokątną dwóch nóg
Twierdzenie Pitagorasa wiąże dwie nogi (boki spotykające się pod kątem prostym) z przeciwprostokątną (strona przeciwna do kąta prostego, zawsze najdłuższa).
c = √(a² + b²)Przykład praktyczny: nogi a = 3 i b = 4, najmniejszy trójkąt prostokątny o liczbie całkowitej.
1. Square each leg. 3² = 9, 4² = 16.
2. Add the squares. 9 + 16 = 25.
3. Take the square root. √25 = 5, the hypotenuse.
Znajdź brakującą nogę przeciwprostokątnej i jedną nogę
Przekształcenie tego samego twierdzenia rozwiązuje problem nogi, gdy znana jest przeciwprostokątna i druga noga.
b = √(c² − a²)Przykład praktyczny: przeciwprostokątna c = 13, noga a = 5.
1. Square both values. 13² = 169, 5² = 25.
2. Subtract. 169 - 25 = 144.
3. Take the square root. √144 = 12, the missing leg.
Rozwiąż za pomocą jednej strony i jednego kąta
Kiedy znany jest jeden kąt ostry i jeden bok, trzy podstawowe stosunki trygonometryczne kończą trójkąt.
sin(θ) = opposite / hypotenuse
cos(θ) = adjacent / hypotenuse
tan(θ) = opposite / adjacentPrzykład praktyczny: kąt ostry 30° i sąsiednia noga 10.
1. Choose the ratio that connects the known and unknown sides. tan(30°) = opposite / 10.
2. Solve for the opposite side. naprzeciwko = 10 × tan(30°) ≈ 10 × 0,5774 ≈ 5,77.
3. Find the hypotenuse. przeciwprostokątna = sąsiadująca / cos(30°) = 10 / 0,8660 ≈ 11,55.
4. Find the second acute angle. 90 − 30 = 60°, ponieważ dwa kąty ostre w trójkącie prostokątnym zawsze sumują się do 90 stopni.
Oblicz pole
Pole trójkąta prostokątnego stanowi połowę iloczynu dwóch nóg, ponieważ każda z nich pełni jednocześnie funkcję podstawy i wysokości drugiej.
A = ½ × a × bPrzykład praktyczny: nogi 3 i 4 z poprzedniego przykładu.
½ × 3 × 4 = 6 jednostek kwadratowych.
Jeśli znana jest tylko noga i przeciwprostokątna, brakującą nogę należy najpierw znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, wówczas ten wzór ma zastosowanie do dwóch nóg.
Sprawdź, czy możliwa jest konfiguracja trójkąta prostokątnego
Nie każda kombinacja dwóch podanych wartości daje prawidłowy trójkąt prostokątny. Jeżeli wpisana przeciwprostokątna jest krótsza od danej nogi, konfiguracja jest niemożliwa, ponieważ przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem. Solver zaznacza to zamiast zwracać liczbę ujemną pod pierwiastkiem kwadratowym.
Użyj SOH-CAH-TOA, aby zapamiętać proporcje
SOH-CAH-TOA to standardowa pomoc w zapamiętywaniu trzech stosunków trygonometrycznych: sinus jest przeciwny do przeciwprostokątnej, cosinus przylega do przeciwprostokątnej i styczna jest przeciwna do sąsiadującej. Wybór prawidłowego stosunku dla danego problemu sprowadza się do określenia, które dwie strony (lub strona i przeciwprostokątna) są zaangażowane w stosunku do znanego kąta.
Przeanalizuj drugą trójkę pitagorejską
Nogi 5 i 12, kolejny powszechny trójkąt prostokątny z liczbami całkowitymi, pokazują ten sam proces z różnymi liczbami. 1. Podnieś każdą nogę do kwadratu. 5² = 25, 12² = 144. 2. Dodaj kwadraty. 25 + 144 = 169. 3. Weź pierwiastek kwadratowy. √169 = 13, przeciwprostokątna.
4. Find the area. ½ × 5 × 12 = 30 jednostek kwadratowych.
Ten trójkąt 5-12-13, podobnie jak wcześniejszy przykład 3-4-5, jest trójką pitagorejską: zbiorem trzech liczb całkowitych, które dokładnie spełniają a² + b² = c², bez konieczności zaokrąglania na żadnym etapie.
Rozpoznaj inne popularne trójki pitagorejskie
Poza 3-4-5 i 5-12-13 kilka innych trójek liczb całkowitych pojawia się na tyle często, że warto je rozpoznać od razu: 8-15-17 i 7-24-25 spełniają dokładnie a² + b² = c². Działa również dowolna wielokrotność znanej trójki, więc 6-8-10 to po prostu potrójne podwojenie 3-4-5.
Dostrzeżenie jednego z tych wzorców w zadaniu może całkowicie uratować krok pierwiastkowy, ponieważ przeciwprostokątna lub brakująca noga jest już znana ze wzoru.
Najczęściej zadawane pytania
Jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego?
Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa: c = √(a² + b²). W przypadku nóg 3 i 4 przeciwprostokątna wynosi √(9+16) = √25 = 5.
Jak znaleźć brakującą nogę w trójkącie prostokątnym?
Zmień układ twierdzenia Pitagorasa: b = √(c² - a²). Dla przeciwprostokątnej równej 13 i nogi równej 5 brakująca noga to √(169−25) = √144 = 12.
Jak rozwiązać trójkąt prostokątny mający jeden kąt i jeden bok?
Użyj stosunków trygonometrycznych sin, cos lub tan, wybierając ten, który wiąże znany bok z bokiem, który chcesz znaleźć, biorąc pod uwagę znany kąt.
Co to jest SOH-CAH-TOA?
Pomoc w zapamiętywaniu stosunków trygonometrycznych: sinus = przeciwprostokątna/przeciwprostokątna, cosinus = sąsiadująca/przeciwprostokątna, styczna = przeciwna/przeciwprostokątna.
Czy dwa kąty ostre w trójkącie prostokątnym zawsze sumują się do 90 stopni?
Tak. Ponieważ suma wszystkich trzech kątów wynosi 180°, a jeden jest ustalony na 90°, pozostałe dwa, oba ostre, zawsze sumują się dokładnie na 90°.
Jak znaleźć pole trójkąta prostokątnego?
Pomnóż obie nogi i podziel przez 2: A = ½ × a × b. Pole nóg 3 i 4 wynosi 6 jednostek kwadratowych.
A co jeśli dana przeciwprostokątna jest krótsza od danej nogi?
Taka kombinacja jest niemożliwa, ponieważ przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego. Solver zaznaczy to zamiast podejmować próbę nieprawidłowego obliczenia.
Podsumowanie
Trójkąt prostokątny oblicza się na podstawie dowolnych dwóch znanych pomiarów, stosując twierdzenie Pitagorasa c² = a² + b² dla dwóch boków lub stosunki trygonometryczne sinus, cosinus i tangens, gdy znany jest jeden bok i jeden kąt ostry.
Odnogi 3 i 4 dają przeciwprostokątną 5 i pole 6 jednostek kwadratowych, podczas gdy przeciwprostokątna 13 i odnoga 5 dają brakującą odnogę 12.
The two acute angles always sum to exactly 90 degrees.