Решатель прямоугольного треугольника находит каждую оставшуюся сторону и угол прямоугольного треугольника по любым двум известным измерениям: двум сторонам или одной стороне и одному острому углу. Введите то, что известно, и инструмент применит теорему Пифагора или тригонометрические отношения, в зависимости от того, что подходит, и покажет замененные шаги.
Прямоугольный треугольник всегда имеет один угол в 90 градусов, а это означает, что для фиксации всей формы необходимы только два дополнительных измерения, что на одно меньше, чем три измерения, необходимые для обычного треугольника.
Найдите гипотенузу по двум катетам
Теорема Пифагора связывает два катета (стороны, встречающиеся под прямым углом) с гипотенузой (сторона, противоположная прямому углу, всегда самая длинная сторона).
c = √(a² + b²)Проработанный пример: катеты a = 3 и b = 4, наименьший целочисленный прямоугольный треугольник.
1. Square each leg. 3² = 9, 4² = 16.
2. Add the squares. 9 + 16 = 25.
3. Take the square root. √25 = 5, the hypotenuse.
Найдите недостающий катет гипотенузы и один катет
Перестановка той же теоремы позволяет найти катет, если известны гипотенуза и другой катет.
b = √(c² − a²)Рабочий пример: гипотенуза с = 13, катет а = 5.
1. Square both values. 13² = 169, 5² = 25.
2. Subtract. 169,25 = 144.
3. Take the square root. √144 = 12, the missing leg.
Решить с одной стороной и одним углом
Когда известны один острый угол и одна сторона, три основных тригонометрических отношения завершают треугольник.
sin(θ) = opposite / hypotenuse
cos(θ) = adjacent / hypotenuse
tan(θ) = opposite / adjacentРабочий пример: острый угол 30° и прилежащий катет 10.
1. Choose the ratio that connects the known and unknown sides. tan(30°) = opposite / 10.
2. Solve for the opposite side. напротив = 10 × tan(30°) ≈ 10 × 0,5774 ≈ 5,77.
3. Find the hypotenuse. гипотенуза = прилежащая / cos(30°) = 10/0,8660 ≈ 11,55.
4. Find the second acute angle. 90 − 30 = 60°, поскольку сумма двух острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусам.
Вычислить площадь
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов, поскольку каждый катет служит одновременно основанием и высотой другого.
A = ½ × a × bРабочий пример: ноги 3 и 4 из предыдущего примера.
½ × 3 × 4 = 6 квадратных единиц.
Если известны только катет и гипотенуза, недостающий катет находится сначала с помощью теоремы Пифагора, затем эта формула применяется к двум катетам.
Убедитесь, что конфигурация прямоугольного треугольника возможна
Не каждая комбинация двух заданных значений дает правильный прямоугольный треугольник. Если введенная гипотенуза короче данного катета, конфигурация невозможна, поскольку гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Решатель отмечает это, а не возвращает отрицательное число под квадратным корнем.
Используйте SOH-CAH-TOA, чтобы запомнить соотношения
SOH-CAH-TOA, это стандартное средство запоминания трех тригонометрических отношений: синус противоположен гипотенузе, косинус прилегает к гипотенузе и тангенс противоположен гипотенузе. Выбор правильного соотношения для данной задачи сводится к определению того, какие две стороны (или сторона и гипотенуза) задействованы относительно известного угла.
Проработайте вторую тройку Пифагора
Каты 5 и 12, еще один распространенный прямоугольный треугольник с целыми числами, показывают один и тот же процесс с разными числами. 1. Возведите каждую ногу в квадрат. 5² = 25, 12² = 144. 2. Сложите квадраты. 25 + 144 = 169. 3. Извлеките квадратный корень. √169 = 13, гипотенуза.
4. Find the area. ½ × 5 × 12 = 30 квадратных единиц.
Этот треугольник 5-12-13, как и предыдущий пример 3-4-5, представляет собой тройку Пифагора: набор трех целых чисел, которые точно удовлетворяют a² + b² = c², без необходимости округления на любом этапе.
Распознайте другие распространенные тройки Пифагора
Помимо 3-4-5 и 5-12-13, несколько других троек целых чисел встречаются достаточно часто, чтобы их можно было распознать с первого взгляда: 8-15-17 и 7-24-25 в точности удовлетворяют a² + b² = c². Любое целое число, кратное известной тройке, также работает, поэтому 6-8-10, это просто удвоенная тройка 3-4-5.
Обнаружение одной из этих закономерностей в задаче может полностью спасти шаг извлечения квадратного корня, поскольку гипотенуза или недостающий катет уже известны из закономерности.
Часто задаваемые вопросы
Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника?
Используйте теорему Пифагора: c = √(a² + b²). Для катетов 3 и 4 гипотенуза равна √(9+16) = √25 = 5.
Как найти недостающий катет прямоугольного треугольника?
Переформулируем теорему Пифагора: b = √(c² − a²). Для гипотенузы 13 и катета 5 недостающий катет равен √(169−25) = √144 = 12.
Как решить прямоугольный треугольник с одним углом и одной стороной?
Используйте тригонометрические отношения sin, cos или tan, выбирая то, что связывает известную сторону со стороной, которую вы хотите найти по известному углу.
Что такое SOH-CAH-TOA?
Вспомогательное средство для запоминания тригонометрических отношений: синус = противоположная/гипотенуза, косинус = смежная/гипотенуза, тангенс = противоположная/смежная.
Всегда ли сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам?
Да. Поскольку сумма всех трех углов равна 180°, а один равен 90°, сумма остальных двух, обоих острых, всегда равна ровно 90°.
Как найти площадь прямоугольного треугольника?
Умножьте два катета и разделите на 2: A = ½ × a × b. Для ног 3 и 4 площадь составляет 6 квадратных единиц.
Что, если данная гипотенуза короче данного катета?
Такая комбинация невозможна, поскольку гипотенуза всегда является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Решатель отметит это, а не попытается выполнить неверный расчет.
Кратко
Прямоугольный треугольник решается на основе любых двух известных измерений с использованием теоремы Пифагора c² = a² + b² для двух сторон или тригонометрических отношений синуса, косинуса и тангенса, когда известны одна сторона и один острый угол.
Катеты 3 и 4 дают гипотенузу 5 и площадь 6 квадратных единиц, а гипотенуза 13 и катет 5 дают недостающий катет 12.
The two acute angles always sum to exactly 90 degrees.
Сопутствующие калькуляторы
Калькулятор прямоугольного треугольника · Калькулятор треугольника · Калькулятор закона косинусов треугольника