Der rechtwinklige Dreiecklöser ermittelt alle verbleibenden Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks aus zwei beliebigen bekannten Maßen: zwei Seiten oder eine Seite und einen spitzen Winkel. Geben Sie ein, was bekannt ist, und das Tool wendet den Satz des Pythagoras oder die trigonometrischen Verhältnisse an, je nachdem, was passt, und zeigt die ersetzten Schritte an.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat immer einen 90-Grad-Winkel, was bedeutet, dass nur zwei weitere Messungen erforderlich sind, um die gesamte Form zu fixieren, eine weniger als die drei Messungen, die ein allgemeines Dreieck erfordert.
Finden Sie die Hypotenuse von zwei Beinen
Der Satz des Pythagoras verbindet die beiden Schenkel (die Seiten, die sich im rechten Winkel treffen) mit der Hypotenuse (der Seite gegenüber dem rechten Winkel, immer die längste Seite).
c = √(a² + b²)Arbeitsbeispiel: Beine a = 3 und b = 4, das kleinste ganzzahlige rechtwinklige Dreieck.
1. Square each leg. 3² = 9, 4² = 16.
2. Add the squares. 9 + 16 = 25.
3. Take the square root. √25 = 5, the hypotenuse.
Finden Sie ein fehlendes Bein der Hypotenuse und ein Bein
Durch Umstellen des gleichen Satzes wird die Lösung für ein Bein gefunden, wenn die Hypotenuse und das andere Bein bekannt sind.
b = √(c² − a²)Arbeitsbeispiel: Hypotenuse c = 13, Bein a = 5.
1. Square both values. 13² = 169, 5² = 25.
2. Subtract. 169 − 25 = 144.
3. Take the square root. √144 = 12, the missing leg.
Lösen Sie mit einer Seite und einem Winkel
Wenn ein spitzer Winkel und eine Seite bekannt sind, vervollständigen die drei primären trigonometrischen Verhältnisse das Dreieck.
sin(θ) = opposite / hypotenuse
cos(θ) = adjacent / hypotenuse
tan(θ) = opposite / adjacentArbeitsbeispiel: ein spitzer Winkel von 30° und ein angrenzender Schenkel von 10.
1. Choose the ratio that connects the known and unknown sides. tan(30°) = opposite / 10.
2. Solve for the opposite side. Gegenteil = 10 × tan(30°) ≈ 10 × 0,5774 ≈ 5,77.
3. Find the hypotenuse. Hypotenuse = angrenzend / cos(30°) = 10 / 0,8660 ≈ 11,55.
4. Find the second acute angle. 90 − 30 = 60°, da die Summe der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck immer 90 Grad ergibt.
Berechnen Sie die Fläche
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts der beiden Schenkel, da jeder Schenkel gleichzeitig als Basis und als Höhe für den anderen dient.
A = ½ × a × bAusgearbeitetes Beispiel: Beine 3 und 4 aus dem früheren Beispiel.
½ × 3 × 4 = 6 Quadrateinheiten.
Wenn nur ein Bein und die Hypotenuse bekannt sind, wird mit dem Satz des Pythagoras zuerst das fehlende Bein gefunden, dann gilt diese Formel für die beiden Beine.
Stellen Sie sicher, dass eine rechtwinklige Dreieckskonfiguration möglich ist
Nicht jede Kombination zweier gegebener Werte ergibt ein gültiges rechtwinkliges Dreieck. Wenn eine eingegebene Hypotenuse kürzer als ein gegebenes Bein ist, ist die Konfiguration unmöglich, da die Hypotenuse immer die längste Seite ist. Der Löser markiert dies, anstatt eine negative Zahl unter einer Quadratwurzel zurückzugeben.
Verwenden Sie SOH-CAH-TOA, um sich die Verhältnisse zu merken
SOH-CAH-TOA ist die Standardgedächtnishilfe für die drei trigonometrischen Verhältnisse: Sinus ist Gegenkathete zur Hypotenuse, Kosinus ist Nebenkathete zur Hypotenuse und Tangens ist Gegenkathete zur Nebenkathete. Um das richtige Verhältnis für ein bestimmtes Problem auszuwählen, kommt es darauf an, herauszufinden, welche zwei Seiten (oder Seite und Hypotenuse) im Verhältnis zum bekannten Winkel beteiligt sind.
Arbeiten Sie ein zweites pythagoräisches Tripel durch
Die Beine 5 und 12, ein weiteres häufiges rechtwinkliges Dreieck mit ganzen Zahlen, zeigen den gleichen Vorgang mit unterschiedlichen Zahlen. 1. Quadrieren Sie jedes Bein. 5² = 25, 12² = 144. 2. Addiere die Quadrate. 25 + 144 = 169. 3. Ziehe die Quadratwurzel. √169 = 13, die Hypotenuse.
4. Find the area. ½ × 5 × 12 = 30 Quadrateinheiten.
Dieses 5-12-13-Dreieck ist, wie das frühere 3-4-5-Beispiel, ein pythagoräisches Tripel: eine Menge von drei ganzen Zahlen, die a² + b² = c² genau erfüllen, ohne dass in irgendeinem Schritt gerundet werden muss.
Erkennen Sie andere häufige pythagoräische Tripel
Über 3-4-5 und 5-12-13 hinaus kommen eine Handvoll anderer ganzzahliger Tripel oft genug vor, dass es sich lohnt, sie auf den ersten Blick zu erkennen: 8-15-17 und 7-24-25 erfüllen beide genau a² + b² = c². Es funktioniert auch jedes ganzzahlige Vielfache eines bekannten Tripels, also ist 6-8-10 einfach das verdoppelte 3-4-5-Triple.
Das Erkennen eines dieser Muster in einem Problem kann den Quadratwurzelschritt vollständig einsparen, da die Hypotenuse oder das fehlende Bein bereits aus dem Muster bekannt ist.
Häufig gestellte Fragen
Wie findet man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks?
Verwenden Sie den Satz des Pythagoras: c = √(a² + b²). Für die Schenkel 3 und 4 beträgt die Hypotenuse √(9+16) = √25 = 5.
Wie findet man ein fehlendes Bein eines rechtwinkligen Dreiecks?
Ordnen Sie den Satz des Pythagoras neu: b = √(c² − a²). Für eine Hypotenuse von 13 und einen Schenkel von 5 beträgt der fehlende Schenkel √(169−25) = √144 = 12.
Wie löst man ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel und einer Seite?
Verwenden Sie die trigonometrischen Verhältnisse sin, cos oder tan und wählen Sie, was die bekannte Seite mit der Seite in Beziehung setzt, die Sie bei gegebenem bekannten Winkel finden möchten.
Was ist SOH-CAH-TOA?
Eine Merkhilfe für die trigonometrischen Verhältnisse: Sinus = Gegenteil/Hypotenuse, Kosinus = Angrenzend/Hypotenuse, Tangens = Gegenteil/Angrenzend.
Ergeben die beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck immer 90 Grad?
Ja. Da sich alle drei Winkel auf 180° summieren und einer auf 90° fixiert ist, ergeben die beiden verbleibenden, beide spitzen Winkel, immer genau 90°.
Wie ermittelt man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks?
Multiplizieren Sie die beiden Beine und dividieren Sie durch 2: A = ½ × a × b. Für die Beine 3 und 4 beträgt die Fläche 6 Quadrateinheiten.
Was ist, wenn die gegebene Hypotenuse kürzer ist als ein gegebenes Bein?
Diese Kombination ist unmöglich, da die Hypotenuse immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Der Solver markiert dies, anstatt eine ungültige Berechnung durchzuführen.
Zusammenfassung
Ein rechtwinkliges Dreieck wird aus zwei beliebigen bekannten Maßen gelöst, wobei der Satz des Pythagoras c² = a² + b² für zwei Seiten oder die trigonometrischen Verhältnisse Sinus, Cosinus und Tangens verwendet werden, wenn eine Seite und ein spitzer Winkel bekannt sind.
Die Schenkel 3 und 4 ergeben eine Hypotenuse von 5 und eine Fläche von 6 Quadrateinheiten, während eine Hypotenuse von 13 und ein Schenkel von 5 einen fehlenden Schenkel von 12 ergeben.
The two acute angles always sum to exactly 90 degrees.