A calculadora do ponto médio calcula a média das coordenadas xey separadamente para encontrar o ponto central de um segmento. Insira dois pontos finais ou insira um ponto final com o ponto médio para recuperar o outro ponto final invertendo a média. A página redesenha o segmento com o ponto médio marcado.
Os pontos finais de referência (2, 4) e (6, 8) fornecem o ponto médio (4, 6). As páginas relacionadas abrangem a Distance Calculator para comprimento de segmento e a Slope Calculator para subida ao longo do percurso a partir dos mesmos dois pontos. Essas três ferramentas compartilham uma base de dois pontos, mas possuem resultados diferentes.
Calcular o ponto médio entre dois pontos
Ponto médio é o ponto intermediário ao longo do segmento em cada direção coordenada. Cada coordenada do ponto médio é a média aritmética das coordenadas correspondentes nas extremidades. A Calculadora do Ponto Médio coloca esse resultado na linha que passa pelos pontos finais de qualquer par distinto.
M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)Os pontos médios tridimensionais também calculam a média de z quando as coordenadas z estão presentes:
M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)O ponto médio divide o segmento em duas metades congruentes de igual comprimento. Não é o mesmo que um ponto que divide o caminho em uma proporção diferente; a fórmula da seção com proporção m:n generaliza a média quando a divisão é desigual.
As unidades seguem os eixos. Se as coordenadas estiverem em metros, as coordenadas do ponto médio estarão em metros. A mistura de unidades entre eixos quebra o significado geométrico da mesma forma que as unidades misturadas quebram a distância.
Aplicar a fórmula do ponto médio
Adicione as coordenadas correspondentes e divida por dois. Isso é equivalente à média dos pontos finais. A Calculadora do Ponto Médio expande a fórmula com os números inseridos e mostra cada etapa de coordenadas.
Mx = (x1 + x2) / 2
My = (y1 + y2) / 2Para (2, 4) e (6, 8):
Mx = (2 + 6) / 2 = 4
My = (4 + 8) / 2 = 6
midpoint = (4, 6)A ordem dos pontos finais não importa: a média (6, 8) com (2, 4) ainda produz (4, 6). As coordenadas negativas funcionam da mesma maneira. Para (-2, 5) e (4, -1):
Mx = (-2 + 4) / 2 = 1
My = (5 + (-1)) / 2 = 2
midpoint = (1, 2)Em uma reta numérica (1D), o ponto médio de aeb é (a + b)/2, a mesma ideia com uma única coordenada.
Encontre um ponto final a partir do ponto médio
Se um ponto final e o ponto médio forem conhecidos, dobre a coordenada do ponto médio e subtraia a coordenada do ponto final conhecida para encontrar a extremidade que falta. Isso inverte a média. A Calculadora de Ponto Médio suporta esse modo de recuperação quando as planilhas fornecem o centro e uma ponta de um segmento.
x2 = 2 * Mx - x1
y2 = 2 * My - y1Se (2, 4) for uma extremidade e o ponto médio for (4, 6), a outra extremidade será:
x2 = 2 * 4 - 2 = 6
y2 = 2 * 6 - 4 = 8
endpoint = (6, 8)A mesma etapa inversa funciona em 3D com z2 = 2 * Mz - z1. Geometricamente, o ponto final conhecido e o ponto final ausente são simétricos em relação ao ponto médio: o ponto médio é o centro desse ponto de reflexão.
Um erro comum é subtrair o ponto médio da extremidade conhecida sem duplicar, o que produz um vetor para o ponto médio em vez do ponto final distante. Outra é calcular a média do ponto médio com a extremidade conhecida, que puxa em direção ao centro em vez de refletir através dele.
Resolva os pontos (2,4) e (6,8)
Aplique a fórmula do ponto médio aos pontos finais de referência. Em seguida, verifique a etapa reversa e a distância e inclinação do companheiro para fins de contexto. 1. Ponto médio
M = (4, 6)2. Recover endpoint from M and (2, 4)
(2 * 4 - 2, 2 * 6 - 4) = (6, 8)3. Distance of the segment (cross-check)
d = sqrt((6-2)^2 + (8-4)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4 * sqrt(2) approx 5.664. Slope of the segment (cross-check)
m = (8 - 4) / (6 - 2) = 4 / 4 = 1A distância e a inclinação devem ser detalhadas em suas próprias páginas. Aqui eles apenas confirmam que (4, 6) está no meio do caminho: de (2, 4) para (4, 6) a mudança é (2, 2), e de (4, 6) para (6, 8) a mudança é novamente (2, 2).
A fórmula da seção com proporção 1:1 é exatamente o ponto médio. Para uma divisão desigual m:n medida do primeiro ponto em direção ao segundo, o ponto de divisão é ((n*x1 + m*x2)/(m+n), (n*y1 + m*y2)/(m+n)). Quando m = n a expressão cai para a média usada aqui. Mantenha proporções desiguais nas planilhas que as solicitam; esta página possui o caso intermediário e a reflexão do ponto final.
As provas de geometria coordenada geralmente mostram que as diagonais de um paralelogramo se dividem ao meio, verificando se ambas as diagonais compartilham o mesmo ponto médio. Inserir os quatro vértices como dois pares diagonais deve retornar um ponto médio comum quando o quadrilátero for um paralelogramo.
Use o ponto médio em uma planilha de grade
No papel milimetrado, a Calculadora do Ponto Médio corresponde às caixas de contagem: de (2, 4) caminhe até a metade do caminho em direção a (6, 8) adicionando metade de (4, 4), que é (2, 2), pousando em (4, 6). O mesmo meio passo funciona com coordenadas negativas.
A plotagem de ambas as extremidades e o ponto médio deve mostrar comprimentos de segmento iguais em cada lado quando uma verificação de régua estiver disponível.
Para um problema de ponto final ausente, marque primeiro a extremidade conhecida e o ponto médio e depois reflita: o vetor da extremidade conhecida até o ponto médio é igual ao vetor do ponto médio até a extremidade desconhecida. Dobrar o ponto médio e subtrair o final conhecido codifica essa reflexão em álgebra. Verificar se ambos os meios segmentos têm o mesmo comprimento com a Calculadora de Distância detecta erros aritméticos.
Nota da unidade: as coordenadas herdam as unidades do eixo. Se x estiver em metros e y estiver em metros, o ponto médio estará em metros. Não calcule a média de um ponto dado em centímetros com outro dado em metros sem converter primeiro.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do ponto médio?
Média de cada coordenada: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Para (2, 4) e (6, 8), o ponto médio é (4, 6).
Como encontro um endpoint ausente?
Dobre cada coordenada do ponto médio e subtraia o ponto final conhecido: x2 = 2*Mx - x1, e o mesmo para y.
O ponto médio está no segmento?
Sim. Está na metade de cada direção coordenada no segmento reto que une as extremidades.
Existe um ponto médio 3D?
Sim. Coordenadas z médias também: Mz = (z1 + z2) / 2.
A ordem dos endpoints é importante?
Não. A adição é comutativa, portanto, trocar os pontos finais deixa o ponto médio inalterado.
Como o ponto médio difere da distância?
O ponto médio é um ponto (o centro). Distância é um comprimento. Use a calculadora de distância para separação.
Como o ponto médio difere da inclinação?
Inclinação é a razão entre subida e corrida. O ponto médio calcula a média das posições. Use a calculadora de inclinação para equações de gradiente e linha.
A calculadora do ponto médio pode lidar com frações?
Sim. A média de metades e quartos é comum em planilhas de grade; os resultados podem ser números inteiros ou decimais terminais, dependendo das entradas.
E se os dois endpoints forem iguais?
The midpoint equals that shared point, and the segment has length zero.
Qual é o ponto médio de (2,4) e (6,8)?
The midpoint is (4, 6). That pair is the reference fixture on this page.
Como verifico o ponto médio por etapas?
Do primeiro ponto final ao ponto médio, a mudança em cada coordenada deve ser igual à mudança do ponto médio para o segundo ponto final.
Resumo
A Calculadora de ponto médio retorna o centro de um segmento de dois pontos finais e pode recuperar um ponto final ausente de uma extremidade e do ponto médio, com aritmética substituída e uma figura rotulada. Os números trabalhados correspondem a (2, 4) e (6, 8): ponto médio (4, 6). Use a Calculadora de Distância e a Calculadora de Inclinação para obter comprimento e gradiente a partir das mesmas entradas de dois pontos.