中点計算機

中点計算ツールは、x 座標と y 座標を個別に平均して、セグメントの中心点を見つけます。 2 つのエンドポイントを入力するか、中間点を含む 1 つのエンドポイントを入力して、平均を反転することによってもう 1 つのエンドポイントを回復します。ページは、中点がマークされたセグメントを再描画します。

参照エンドポイント (2, 4) および (6, 8) は中間点 (4, 6) を与えます。関連ページでは、セグメントの長さの Distance Calculator と、同じ 2 点からの立ち上がりオーバーランの Slope Calculator について説明します。これら 3 つのツールは 2 点の基盤を共有していますが、異なる出力を持っています。

2 点の間の中点を計算します

中点は、各座標方向のセグメントに沿った中間点です。中点の各座標は、両端の一致する座標の算術平均です。中点計算ツールは、その結果を、任意の個別のペアの端点を通る線上に配置します。

M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

z 座標が存在する場合、3 次元の中点も z を平均します。

M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)

中点は、セグメントを等しい長さの 2 つの合同な半分に分割します。これは、パスを異なる比率で分割する点とは異なります。比率 m:n のセクション式は、分割が不均一な場合の平均を一般化します。

単位は軸に従います。座標がメートル単位の場合、中点座標もメートル単位になります。軸間で単位を混在させると、距離が壊れるのと同じように、幾何学的な意味が壊れます。

中点の式を適用する

対応する座標を加算し、2 で割ります。これはエンドポイントの平均に相当します。中点計算ツールは、入力された数値で式を展開し、各座標ステップを表示します。

Mx = (x1 + x2) / 2
My = (y1 + y2) / 2

(2, 4) および (6, 8) の場合:

Mx = (2 + 6) / 2 = 4
My = (4 + 8) / 2 = 6
midpoint = (4, 6)

エンドポイントの順序は重要ではありません。(6, 8) と (2, 4) を平均しても (4, 6) が得られます。負の座標も同様に機能します。 (-2, 5) および (4, -1) の場合:

Mx = (-2 + 4) / 2 = 1
My = (5 + (-1)) / 2 = 2
midpoint = (1, 2)

数直線 (1D) 上では、a と b の中点は (a + b) / 2 になります。これは、単一の座標で同じ考え方です。

中間点から終点を見つける

1 つの端点と中点がわかっている場合は、中点の座標を 2 倍にし、既知の端点の座標を減算して、欠落している端点を見つけます。これは平均を逆転させます。中点計算ツールは、ワークシートにセグメントの中心と 1 つの先端が指定されている場合に、その回復モードをサポートします。

x2 = 2 * Mx - x1
y2 = 2 * My - y1

(2, 4) が一方の端で、中点が (4, 6) である場合、もう一方の端は次のようになります。

x2 = 2 * 4 - 2 = 6
y2 = 2 * 6 - 4 = 8
endpoint = (6, 8)

同じ逆のステップが、z2 = 2 * Mz - z1 を使用して 3D で機能します。幾何学的には、既知の端点と不明な端点は中点に関して対称です。中点はその点の反射の中心です。

よくある間違いは、2 倍にせずに既知の端から中点を引くことです。これにより、遠い端点ではなく中点へのベクトルが生成されます。もう 1 つは、既知の端と中点を平均することで、反射するのではなく中心に向かって引き寄せられます。

点 (2,4) と (6,8) を解きます。

中点の式を参照エンドポイントに適用します。次に、コンテキストに合わせて、逆のステップとコンパニオンの距離と傾斜を確認します。 1.中間点

M = (4, 6)

2. Recover endpoint from M and (2, 4)

(2 * 4 - 2, 2 * 6 - 4) = (6, 8)

3. Distance of the segment (cross-check)

d = sqrt((6-2)^2 + (8-4)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4 * sqrt(2) approx 5.66

4. Slope of the segment (cross-check)

m = (8 - 4) / (6 - 2) = 4 / 4 = 1

距離と傾斜については、それぞれのページで詳しく説明します。ここでは、(4, 6) が途中にあることだけが確認されています。(2, 4) から (4, 6) までの変化は (2, 2) であり、(4, 6) から (6, 8) までの変化は再び (2, 2) です。

比率 1:1 の断面式はちょうど中間点です。最初の点から 2 番目の点に向かって計測された不均等な分割 m:n の場合、分割点は ((n*x1 + m*x2)/(m+n), (n*y1 + m*y2)/(m+n)) になります。 m = n の場合、式はここで使用される平均値に折りたたまれます。比率を求めるワークシートでは不均一な比率を維持します。このページには、途中のケースとエンドポイントのリフレクションが含まれています。

座標幾何学の証明では、両方の対角線が同じ中点を共有していることを検証することで、平行四辺形の対角線が互いに二等分していることがよく示されます。 4 つの頂点を 2 つの対角線のペアとして入力すると、四角形が平行四辺形の場合、1 つの共通の中点が返されます。

グリッドワークシートで中点を使用する

グラフ用紙上では、中点計算ツールはカウンティング ボックスと一致します。(2, 4) から (6, 8) に向かって半分歩き、(4, 4) の半分 (2, 2) を加えて (4, 6) に着地します。同じハーフステップは負の座標でも機能します。

ルーラー チェックが利用可能な場合、両方の端点と中点をプロットすると、各側で等しいセグメント長が表示されるはずです。

終点が欠落している問題の場合は、最初に既知の終点と中点をマークしてから、既知の終点から中点までのベクトルが中点から未知の終点までのベクトルと等しいことを反映します。中点を 2 倍にし、既知の端を減算すると、その反射が代数でエンコードされます。距離計算ツールを使用して両方の半分のセグメントの長さが同じであることを確認すると、算術誤差が見つかります。

単位に関する注意: 座標は軸の単位を継承します。 x の単位がメートル、y の単位がメートルの場合、中点の単位はメートルになります。最初に換算せずに、センチメートルで指定されたポイントとメートルで指定されたポイントを平均しないでください。

よくある質問

まとめ

中点計算機は、2 つの端点からセグメントの中心を返し、置換された演算とラベル付きの数値を使用して、一方の端と中点から欠落している端点を回復できます。実行された数値は (2, 4) と (6, 8) に一致します: 中間点 (4, 6)。同じ 2 点入力からの長さと勾配については、距離計算機と傾斜計算機を使用します。

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