Der Geschwindigkeitsrechner (v² = u² + 2as) berechnet die Endgeschwindigkeit aus Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung, ohne die vergangene Zeit überhaupt kennen zu müssen. Geben Sie u, a und s ein, und das Werkzeug gibt die Endgeschwindigkeit zurück, wobei es sorgfältig mit der Quadratwurzel arbeitet, die diese Gleichung benötigt.
Dies ist die SUVAT-Gleichung, zu der man greifen muss, wenn ein Problem eine zurückgelegte Strecke und eine Beschleunigung angibt, aber nicht angibt, wie lange die Bewegung gedauert hat, eine gängige Konfiguration bei Bremsweg- und Freifallhöhen.
Berechnung der Geschwindigkeit aus Beschleunigung und Verschiebung
Wenn Zeit unbekannt ist, folgt die Endgeschwindigkeit weiterhin aus Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung, durch eine Beziehung, die durch das Eliminieren der Zeit aus der linearen Geschwindigkeitsgleichung erhalten wird.
v² = u² + 2as
v = ±√(u² + 2as)Ausgearbeitetes Beispiel: Ein Fahrzeug bremst von 10 m/s bei −2 m/s² über eine Strecke von 25 m.
1. Quadrieren Sie die Anfangsgeschwindigkeit. 10² = 100.
2. Berechnen Sie den 2as-Term. 2 × (−2) × 25 = −100.
3. Füge die beiden Begriffe hinzu. 100 + (−100) = 0.
4. Nimm die Quadratwurzel. v = √0 = 0 m/s.
Das Fahrzeug kommt genau bei dieser 25 m-Marke vollständig zum Stillstand.
Wählen Sie das richtige Vorzeichen für die Quadratwurzel
Das Quadrieren einer Zahl verliert immer ihr ursprüngliches Vorzeichen, sodass die Gleichung v² = u² + 2as technisch gesehen zwei mathematische Lösungen besitzt, eine positive und eine negative. Physikalisch ergibt in der Regel nur eine davon für ein gegebenes Problem Sinn, und die richtige Wahl hängt von der bereits festgelegten Richtungskonvention für das Problem ab.
Wenn sich die Bewegung in dieselbe Richtung wie die Anfangsgeschwindigkeit fortsetzt, nehmen Sie die positive Nullstelle. Wenn das Objekt bis zum Zeitpunkt der gegebenen Verschiebung die Richtung umgekehrt hat (was zum Beispiel bei einem nach oben geworfenen Ball passieren kann), kann die negative Wurzel die physikalisch bedeutungsvolle sein. Das Ergebnispanel sollte mit dem physikalischen Szenario verglichen werden und nicht nur auf den ersten Blick akzeptiert werden.
Erkennen Sie, wenn keine wirkliche Geschwindigkeit existiert
Wenn die Größe unter der Quadratwurzel, u² + 2as, negativ ausfällt, gibt es keine Lösung der reellen Zahlen, was bedeutet, dass das Objekt diese Verschiebung bei der angegebenen Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung nie tatsächlich erreicht.
Ausgearbeitetes Beispiel: Ein Fahrzeug bei 10 m/s, das bei −2 m/s² abbremst, wird nach seiner Geschwindigkeit bei 30 m gefragt, jenseits des zuvor gefundenen Stopppunkts 25 m.
u² + 2as = 100 + 2(−2)(30) = 100 − 120 = −20, ein negativer Wert, der bestätigt, dass das Fahrzeug unter dieser Verzögerung stoppt, bevor es überhaupt 30 m erreicht.
Verstehen Sie, woher diese Gleichung stammt
Ausgehend von v = u + at erhält die Lösung für t t = (v − u)/a. Das Einsetzen in s = ut + 1/2at² und eine algebraische Vereinfachung eliminiert t vollständig, sodass v² = u² + 2as bleibt.
Da sie aus dem Quadrieren einer linearen Beziehung abgeleitet wird, erzeugt die Gleichung natürlich zwei mathematische Wurzeln, obwohl die meisten realen Probleme nur eine davon benötigen.
Wenden Sie die Formel auf ein Startproblem an
Eine Kugel wird mit 20 m/s nach oben geschleudert. Als positiv aufgenommen, wirkt die Schwerkraft als a = −9.80665 m/s². Finde ihre Geschwindigkeit nach dem Aufstieg 15 m. 1. Quadrieren Sie die Anfangsgeschwindigkeit. 20² = 400. 2. Berechnen Sie den 2as-Term. 2 × (−9.80665) × 15 = −294.20.
3. Füge die beiden Begriffe hinzu. 400 − 294.20 = 105.80.
4. Nimm die Quadratwurzel. v = √105.80 ≈ 10.29 m/s.
Da die Kugel weiterhin bei 15 m steigt (sie hat ihren Höhepunkt noch nicht erreicht), ist die positive Wurzel +10.29 m/s hier die physikalisch korrekte Wahl.
Arbeiten Sie sich durch ein Beispiel mit positiver Beschleunigung
Ein Auto startet bei u = 5 m/s und beschleunigt bei a = 3 m/s² über eine Verschiebung von s = 40 m. 1. Quadrieren Sie die Anfangsgeschwindigkeit. 5² = 25. 2. Berechnen Sie den 2as-Term. 2 × 3 × 40 = 240.
3. Füge die beiden Begriffe hinzu. 25 + 240 = 265.
4. Nimm die Quadratwurzel. v = √265 ≈ 16.28 m/s.
Da das Auto beschleunigt und nicht abbremst, ist hier nur die positive Wurzel physikalisch bedeutsam, da sie der ursprünglichen Bewegungsrichtung entspricht.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Formel für Geschwindigkeit ohne Zeit?
v² = u² + 2as, dann nehmen Sie die Quadratwurzel: v = ±√(u² + 2as). Dies funktioniert allein durch Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung.
Warum hat diese Gleichung zwei mögliche Antworten?
Das Quadrieren einer Zahl entfernt ihr Vorzeichen, sodass die Gleichung mathematisch sowohl eine positive als auch eine negative Null zulässt. Physikalisch hängt das korrekte Vorzeichen von der Bewegungsrichtung bei der betreffenden Verschiebung ab.
Was bedeutet es, wenn der Wert unter der Quadratwurzel negativ ist?
Das bedeutet, dass das Objekt diese Verschiebung unter der gegebenen Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung nie erreicht; für diese Kombination von Eingaben existiert keine wirkliche Geschwindigkeit.
Wie wird diese Gleichung abgeleitet?
Sie entsteht durch die Kombination von v = u + at und s = ut + 1/2at² zur algebraischen Eliminierung der Zeit, wodurch eine direkte Beziehung zwischen v, u, a und s entsteht.
Kann diese Formel bei Problemen mit Freifallhöhe verwendet werden?
Ja. Geben Sie die Anfangsgeschwindigkeit, die Beschleunigung durch die Schwerkraft und die Verschiebung (gefallene oder gestiegene Höhe) ein, um die Geschwindigkeit an diesem Punkt zu bestimmen, ohne wissen zu müssen, wie viel Zeit vergangen ist.
Was, wenn die Beschleunigung null ist?
Dann vereinfacht sich die Gleichung zu v² = u², was v = ±u bedeutet. Ohne Beschleunigung ändert sich die Geschwindigkeitsgröße nie, sodass allein die Verschiebung keine neuen Informationen über die Geschwindigkeit liefert.
Ist das dieselbe Gleichung, die auf dem Hauptgeschwindigkeitsrechner verwendet wird?
Ja. Diese Seite konzentriert sich speziell auf die Zeitlose v² = u² + 2as-Form; der Hauptgeschwindigkeitsrechner deckt außerdem die Endgeschwindigkeit von Zeit und Durchschnittsgeschwindigkeit im selben Werkzeug ab.
Zusammenfassung
Endgeschwindigkeit ohne Zeit folgt v² = u² + 2as, wobei die Quadratwurzel genommen wird, um v zu lösen, wobei ein Bremsbeispiel (u = 10 m/s, a = −2 m/s², s = 25 m) genau v = 0 m/s am Stopppunkt ergibt.
Da das Quadrieren Vorzeicheninformationen entfernt, muss die korrekte Wurzel, positiv oder negativ, basierend auf der physikalischen Bewegungsrichtung gewählt werden. Ein negativer Wert unter der Quadratwurzel bedeutet, dass die betreffende Verschiebung unter diesen Bedingungen nie erreicht wird.